Olleh:s teorisamling - Andragradsekvationer

Enkla ekvationer av första graden
x + 5 = 15
kan enkelt lösas genom att addera -5 till båda leden.
x + 5 - 5 = 15 - 5
x = 10

Andragradsekvationer

Andragradsekvationer kan ha 2 olika lösningar, 2 lika lösningar eller ingen lösning alls.

x² = 9

Typ 1 med 2 lösningar

x² = 9
Ett tal gånger sig själv ska bli 9. Det finns 2 möligheter
x = 3 eftersom 3·3 = 9 och
x = -3 eftersom (-3)·(-3) = 9

x² = 9
x = ±√9
x₁ = -3
x₂ = 3

På samma sätt löser man ekvationen x² = 25
x² = 25
x = ±√25
x₁ = -5
x₂ = 5

Ekvationen x² - 36 = 0
måste först omformas för att lösas. Skriv om till
x² = 36
x = ±√36
x₁ = - 6
x₂ = 6

Typ 1 med 1 lösning

x² = 0
Denna ekvation har två likadana lösningar, nämligen
x = ±√0
x₁ = 0
x₂ = 0

Typ 1 som saknar lösning

x² = -9
Denna ekvation saknar reella lösningar då det inte finns något reellt tal som multiplicerat med sig själv blir negativt.

Typ 1 med uttryck i kvadrat

(x + 3)² = 9
Här är det inte bara x som är upphöjt till 2 utan en hel parentes. Lös ekvationen som om parentesen var x:
(x + 3)² = 9
(x + 3) = ±√9
(x + 3) = ± 3

Dela isär de båda ekvationerna
x + 3 = -3
x + 3 = 3

Minska båda leden med 3
x = -3 - 3
x = 3 - 3

x₁ = -6
x₂ = 0

x² + x = 0

Typ 2 ekvationer med x²-term och x-term

x² - 2x = 0
Ekvationen löses genom faktorisering. Bryt ut x ur vänsterled.
x ·(x - 2) = 0
För att produkten av två tal ska bli 0 måste ett av talen vara 0. Så antingen är första faktorn x = 0 eller så är andra faktorn (x - 2) = 0
x = 0
(x - 2) = 0
Som har lösningen
x₁ = 0
x₂ = 2

x² = 6x
Denna ekvation skrivs om så den blir = 0
x² - 6x = 0
Faktorisera ekvationen. Bryt ut x.
x·(x - 6) = 0
som har lösningarna enligt nollproduktsatsen Tips
x = 0
(x - 6) = 0
x₁ = 0
x₂ = 6

x² + 5x + 6 = 0

Typ 3 ekvationer med x²-term, x-term och konstant-term

Ekvationen löses med pq-formeln. Då ekvationen är skriven på formen
x² + px + q = 0
blir lösningarna
x = (-p/2) ± √(p/2)² - q

x₁ = (-p/2) + √(p/2)² - q
x₂ = (-p/2) - √(p/2)² - q

Nu tillbaka till ekvationen:
x² + 5x + 6 = 0
p = 5 vilket ger (-p/2) = -2.5
q = 6 vilket ger -q = -6

x = -2.5 ± √2.5² - 6
x = -2.5 ± √6.25 - 6
x = -2.5 ± √0.25
x = -2.5 ± 0.5
x₁ = -2.5 - 0.5 = - 3
x₂ = -2.5 + 0.5 = -2

x² - 5x = 6

Skriv om så att ekvationen blir = 0
x² - 5x - 6 = 0

Lös med pq-formeln
x = 2.5 ± √2.5² + 6

x² = 5x + 6

Skriv om så att ekvationen blir = 0
x² - 5x - 6 = 0

Lös med pq-formeln
x = 2.5 ± √2.5² + 6

2x² + 10x + 12 = 0

Dividera alla termerna med 2 så att x²-termen inte har någon koefficient.
x² + 5x + 6 = 0

Lös med pq-formeln
x = -2.5 ± √2.5² - 6

2x² = 10x + 12

Skriv om så att ekvationen blir = 0
2x² - 10x - 12 = 0

Dividera alla termer med 2 så att x²-termen inte har någon koefficient.
x² - 5x - 6 = 0

Lös med pq-formeln
x = 2.5 ± √2.5² + 6

Typ 3 som saknar lösningar

Om värdet under rottecknet blir negativt, dvs √negativt tal,
så finns inga reella lösningar till ekvationen.

x² - 5x + 9 = 0

Ekvationen försöker man lösa med pq-formeln
x = 2.5 ± √2.5² - 9

x = 2.5 ± √6.25 - 9
x = 2.5 ± √-2.75

Det går inte att beräkna √-2.75
Ekvationen saknar reella lösningar.

Andragradsekvationens graf

En lösning till en andragradsekvation kan grafiskt ses som de punkter där kurvan korsar x-axeln. Bilden visar grafen till funktionen f(x) = x² - 5x + 6. (svart kurva)

Där kurvan korsar x-axeln är f(x) = 0 dvs x² - 5x + 6 = 0.
Man ser att kurvan korsar x-axeln för x = 2 och x = 3.

Lös ekvationen x² - 5x + 6 = 0
x = 2.5 ± √2.5² - 6
x = 2.5 ± √6.25 - 6
x = 2.5 ± √0.25
x = 2.5 ± 0.5
x₁ = 2.5 - 0.5 = 2
x₂ = 2.5 + 0.5 = 3
Lösningarna blir x =2 och x = 3, vilket man redan sett i grafen.

Flyttar man upp kurvan bara 1 enhet kommer kurvan att korsa y-axeln i 7 och minimipunkten kommer att hamna 1 enhet högre upp (röd kurva). Kurvan kommer inte att korsa x-axeln.

Ekvationen x² - 5x + 7 = 0 har inga lösningar. Testa med att lösa ekvationen.
x² - 5x + 7 = 0
x = 2.5 ± √2.5² - 7
x = 2.5 ± √6.25 - 7
x = 2.5 ± √-0.75

Negativt tal under rottecknet. Ekvationen saknar lösningar, vilket vi redan visste.