Teori andragradskurvan - olleh webbsupport i matematik

Olleh:s teorisamling - Andragradskurvan

Innehåll
Konstruera kurvan Flytta kurvan i hjödled Flytta kurvan i sidled Symmetrilinjen Nollställen på x-axeln Kurva genom origo	Kurva som korsar y-axeln Bestäm kurvan med pq-formeln Bestäm kurvan med kvadratkomplettering Kurva med koefficient framför x² Negativa kurvor Negativa kurvor på allmän form

upp

Konstruera kurvan

Nedan är kurvan f(x) = x² ritad.
Lägsta punkten på kurvan kallas kurvans vertex.

Med utgångspunkt från vertex
Ta 1 steg åt höger och sedan 1² = 1 steg uppåt till en ny punkt på kurvan.
Ta 2 steg åt höger och sedan 2² = 4 steg uppåt till en ny punkt på kurvan.
Ta 3 steg åt höger och sedan 3² = 9 steg uppåt till en ny punkt på kurvan.
osv.

Likadant åt vänster.
Med utgångspunkt från vertex
Ta 1 steg åt vänster och sedan 1² = 1 steg uppåt till en ny punkt på kurvan.
Ta 2 steg åt vänster och sedan 2² = 4 steg uppåt till en ny punkt på kurvan.
Ta 3 steg åt vänster och sedan 3² = 9 steg uppåt till en ny punkt på kurvan.
osv.

upp

Flytta kurvan i höjdled

Använd GeoGebra för att göra följande övningar.
Klicka här för att ladda ned GeoGebra
Rita kurvan f(x) = x^2
genom att skriva

f(x)=x^2
i inputfältet i GeoGebra

Kurvan f(x) = x² visas i figuren.

Den har sin lägsta punkt i origo (0, 0). Vertex ligger i origo.

Kurvan kan flyttas upp eller ner genom att till varje punkt på kurvan lägga en konstant.
För muspekaren till kurvan och tryck ned vänster musknapp och dra kurvan så att vertex hamnar i (0, 2).
Så är kurvan f(x) = x² flyttad upp 2 enheter till f(x) = x² + 2

kurvans vertex ligger i punkten (0, 2)

För muspekaren till kurvan och tryck ned vänster musknapp och dra kurvan så att vertex hamnar i (0, -3).
och kurvan f(x) = x² är flyttad ner 3 enheter till f(x) = x² - 3

Kurvans vertex ligger i punkten (0, -3)

Kurvan kan flyttas upp eller ned genom att till x²-termen addera en konstant.

upp

Flytta kurvan i sidled

För muspekaren till kurvan och tryck ned vänster musknapp och dra kurvan så att vertex hamnar i (1, 0).

GeoGebra beskriver nu kurvan som

Vi har tidigare sett att kurvans lägsta punkt (vertex) har haft x = 0 som gett kurvans lägsta värde.

Flyttar man kurvan i sidled kommer även nu kurvans lägsta värde att vara noll men då x-värdet är 1 för lägsta punkten, måste man kompensera genom att minska med 1.
Då blir
(x - kompensation)² = 0
(x - 1)² = 0
och kurvan får sitt lägsta värde för x = 1. ( (x - 1) = 0 och 0² = 0)

Flytta kurvan så vertex hamnar på (-1,0)

Kurvan kan flyttas åt höger genom att minska x med ett tal eller åt vänster genom att addera ett tal till x.
Flytta kurvan →: (x − tal)²
Flytta kurvan ←: (x + tal)²

upp

Flytta kurvan i sidled och höjdled

Kombinera en flyttning i sidled med en flyttning i höjdled.
Flytta kurvan så vertex hamnar i (2,-1)

Kurvan får sitt lägsta värde för x = 2
f(x) = (x - 2)² -1
f(2) = (2 - 2)² - 1 = 0² - 1 = -1

upp

Symmetrilinjen

Det finns en vertikal linje som delar kurvan i två lika delar där den ena kan ses som en spegelbild av den andra delen.
Denna linje kallas kurvans symmetrilinje.

Kurvan ovan har symmetrilinjen x = 3.

upp

Nollställen på x-axeln.

En kurva som korsar x-axeln har nollställen eller rötter. Dessa är punkter på kurvan där y-värdet är noll.

Kurvan f(x) = (x - 3)² -1 har nollställen x = 2 och x = 4.
Nollställena ligger symmetriskt lika långt från symmetrilinjen.

Uttrycket för f(x) = (x - 3)² - 1 kan expanderas dvs. parentesen utvecklas och uttrycket förenklas.

f(x) = (x - 3)² - 1 = x² - 6x + 3² -1 = x² - 6x + 9 - 1 = x² - 6x + 8.

Samma uttryck får man om man skriver
(x - nollställe nr ett)·(x - nollställe nr två ) = (x - 2)·(x - 4) som efter förenkling blir
(x - 2)·(x - 4) = x² - 4x - 2x + 8 = x² - 6x + 8.

Uttrycket för samma andragradskurva kan skrivas på tre olika sätt:

f(x) = (x - 2)·(x - 4)
f(x) = (x - 3)² - 1
f(x) = x² - 6x + 8

upp

En kurva som går genom origo

Speciellt enkel blir kurvans formel om kurvan går genom origo. Ena nollstället är då 0.

(x - nollställe nr ett)·(x - nollställe nr två ) = (x - 0)·(x - 2) = x(x - 2) = x² - 2x
f(x) = x² - 2x

upp

En kurva som korsar y-axeln

Kurvan f(x) = (x - 2)² - 1.

Den korsar den fiktiva x-axeln "y = 3" för x = 0 och x = 4
så den skulle kunna skrivas
f(x) = x(x - 4) = x² - 4x
men x-axeln ligger 3 enheter längre ner så man måste addera 3 till uttrycket.
f(x) = x² - 4x + 3

Genom att avläsa den punkt där kurvan korsar y-axeln (0, 3)
och bonuspunkten på samma höjd (4, 3)
kan man skriva kurvans formel:
f(x) = x(x - 4) + 3
f(x) = x² - 4x + 3

upp

Bestäm kurvan med pq-formeln

Vilka nollställen har kurvan f(x) = x² - 5x + 6 ?
Lös med pq-formeln
x = 2.5 ± √(2.5)² - 6
x = 2.5 ± √6.25 - 6
x = 2.5 ± √0.25
x = 2.5 ± 0.5
x₁ = 2.5 - 0.5 = 2
x₂ = 2.5 + 0.5 = 3

Man känner nu 3 punkter på grafen:
(0, 6) Skärningen med y-axeln. Konstant-termen är 6 och motsvarar 'm' för en rät linje.
(2, 0) Ena nollstället.
(3, 0) Andra nollstället.

Dessutom ger pq-formelns lösning
x = 2.5 ± √0.25
symmetrilinjen
x = 2.5
och y-koordinaten för vertex som gömmer sig under rottecknet med ombytt tecken.
(2.5, -0.25)

Bonuspunkten (6, 5) ligger lika långt från symmetrilinjen som skärningen med y-axeln gör och på samma höjd.

upp

Bestäm kurvan med hjälp av kvadratkomplettering

Var hamnar en kurva som är given i allmän form?
f(x) = x² + 4x - 3

Titta på x² + 4x.
Det är en del av (x + 2)² = x² + 4x + 2² = x² + 4x + 4.

Men konstanten 4 saknas så man kompletterar kvadraten genom att lägga till 4 och dra ifrån 4.
f(x) = x² + 4x - 3 = x² + 4x + 4 - 4 - 3
f(x) = x² + 4x - 3 = (x² + 4x + 4) - 4 - 3
f(x) = x² + 4x - 3 = (x + 2)²- 4 - 3
f(x) = x² + 4x - 3 = (x + 2)² - 7

Kurvan hamnar med vertex i punkten (-2, -7).

(x + 2)² flyttar kurvan 2 steg åt vänster och -7 flyttar ned 7 steg.

upp

Andragradskurva med koefficient framför x²

f(x) = 2x²

Utgå från vertex: (jämför med 'konstruera kurva')
Ta 1 steg åt sidan och gå upp 2·1² steg uppåt så kommer man till en ny punkt på kurvan.
Ta 2 steg åt sidan och gå upp 2·2² steg uppåt så kommer man till en ny punkt på kurvan.
...

Alla y-värden kommer att multipliceras med 2.

upp

Negativa andragradskurvor

Är x²-termen negativ kommer kurvan att vändas neråt så kurvans högsta punkt blir vertex.

Adderar man en konstant till kurvan, kommer kurvan att flytta sig i höjdled.
Flytta kurvan ↑: -x² + tal
Flytta kurvan ↓: -x² - tal

Adderar man en konstant till x
kommer kurvan att flytta sig i sidled.
Flytta kurvan →: -(x − tal)²
Flytta kurvan ←: -(x + tal)²

Bilden visar en kurva som är flyttad 2 steg uppåt och 3 steg åt höger.
f(x) = -(x - 3)² + 2

upp

En "negativ" andragradskurva på allmän form

Hur ser kurvan
f(x) = -x² + 4x - 3
ut?

Tänk på att (x² - 4x + 4) = (x - 2)²
Kvadratkomplettera. Dra ifrån 4 och lägg till 4.
f(x) = -x² + 4x - 4 + 4 - 3
f(x) = (-x² + 4x - 4) + 4 - 3

Bryt ut -1 ur parentesen.
f(x) = -1·(x² - 4x + 4) + 4 - 3

Kvadreringsregeln ger
f(x) = -1·(x - 2)² + 4 - 3
f(x) = -(x - 2)² + 1

Kurvan har flyttats 2 steg åt höger och ett steg uppåt.

Vad har den här kurvan för formel?

Kurvan korsar y-axeln i punkten (0, 2), x²-termen är negativ och bonuspunkten är (4, 2).
Kurvan blir
f(x) = -x(x - 4) + 2.
f(x) = -x² + 4x + 2.

Genom att avläsa den punkt där kurvan korsar y-axeln (0, 2)
och bonuspunkten på samma höjd (4, 2)
och ser att kurvan har negativ x²-term
kan man skriva kurvans formel:
f(x) = -x(x - 4) + 2.
f(x) = -x² + 4x + 2

home