Teori - Integraler
home
Säg att det finns en funktion F(x) vars värde är arean under kurva f(x) från vänster fram till x.
Då skulle arean mellan x-värdena a och b kunna beräknas genom att ta alla area fram till b och sedan dra bort arean fram till a.
Man kan då säga att arean kan beräknas med:
Arean = F(b) − F(a).
För att beskriva detta har man hittat på symboler och ett skrivsätt som innehåller området gränser: kurvna f(x), x-axeln, vänsterkanten a och högerkanten b.
b
∫
a f(x) dx
Arean = b
∫
a f(x) dx = F(b) − F(a)
Funktionen F(x)
Vad är då funktionen F(x) för något?
Tag en mycket smal strimla under kurvan f(x).
Säg att strimlan börjar vid x och slutar vid x+h
Arean på strimlan kan beräknas med F(x) och blir från x till x+h:
Arean = F(x+h) − F(x)
Arean kan också beräknas som en rektangel med höjden f(x) och bredden h. I bilden är inte den skuggade arean en rektangel men om h är tillräckligt smal kan höjden approximeras med f(x).
Arean = f(x) · h
Samma area kan således beräknas på två sätt. Dessa beräkningar ska vara lika:
f(x)·h = F(x+h) - F(x)
Dividera båda leden med h:
f(x) = (F(x+h) - F(x))/(h)
Kvoten i högerledet kallas differenskvot.
Om man låter h gå mot 0:
Lim
h→0 (F(x+h) - F(x))/(h) = F '(x)
Gränsvärdet av differenskvoten är derivatan av F(x).
Slutsats:
Den funktion F(x) som anger värdet av arean under kurvan f(x) fram till x är sådan att
F '(x) = f(x).
Exempel:
f(x) = 2x.
Då blir
F(x) = x2, eftersom derivatan av x2 är 2x.
F(x) är en primitiv funktion till f(x).
Matematiska språket
För att hålla reda på allt och för att alla ska förstå vad man gör finns matematiska skrivsätt.
Beräkna den röda arean mellan f(x) och x-axeln från a fram till b.
b
∫
a f(x) dx = [ F(x) b
]
a = F(b) − F(a).
Inom hakparenteserna skriver man den primitiva funktion F(x) till kurvan f(x).
I F(b) sätter man in övre gränsen b och beräknar
I F(a) sätter man in den nedre gränsen a och beräknar.
Exempel
Beräkna arena mellan a = 2 och b = 4 under kurvan f(x) = 2x.
4
∫
2 2x dx = [ x2 4
]
2 = ( 42 ) - ( 22 ) = 16 - 4 = 12 a.e.