home |
Imaginära enheten
För att lösa ekvationen måste man utvidga de reella talen.
Ett komplext tal består av en realdel längs x-axeln och en imaginärdel längs y-axeln. |
Addition och subtraktionVid addition adderas realdelarna för sig och imaginära delarna för sig.z1 = a + bi z2 = c + di z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Exempel: z1 = a + bi z2 = c + di z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i
Exempel: |
MultiplikationMultiplikation av två komplexa tal sker på samma sätt som multiplikation av två parenteser.z1 = a + bi z2 = c + di z1 · z2 = (a + bi) · (c + di) = a·c + a·di + bi·c + bi·di = (ac + bdi²) + (ad + bc)i = (ac - bd) + (ad + bc)i eftersom i² = -1
Exempel: |
AbsolutbeloppetDe komplexa talen representeras ofta av pilar som utgår från origo. I bilden till höger visas de komplexa talen z1 = 5 + 2i och z2 = 4 - 3i som pilar. Pilarnas längd visar de komplexa talens storlek. Pilens längd kallas absolutbeloppet av det komplexa talet z, där z = a + bi. |z| = √a² + b²
Så är t.ex. |z2| = √4² + (-3)² = 5 |
Konjugatuttrycket av zDet komplexa talet z = a + bi har ett konjugatuttryck z-konjugat som skrivs z = a - bi I det komplexa talplanet åskådliggörs det komplexa talet 4 + 3i som en punkt (4, 3) och konjugatet 4 - 3i blir punkten (4, -3). Konjugatet z är en spegelbild av z med x-axeln som spegel. Det gäller att z · z = (a + bi)(a - bi) = a² + b² är ett reellt tal.Man kan också se att |z| · |z| = z · z = a² + b² |
DivisionDivision av komplexa tal är lite mer komplicerad än multiplikation.z1 = a + bi z2 = c + di a+biGenom att förlänga med nämnarens konjugat får man en reell nämnare. a+bi = (a+bi)(c-di) = (ac-bdi²)+(-ad+bc)i =Exempel: (5+3i) = (5+3i)(3+4i) = (15-12)+(9+20)i = 3+29i == 0.12 + 1.16i |
Argumentet för zSer man det komplexa talet z = a + bi som en vektor från origo till punkten (a, b) i det komplexa talplanet är argumentet för z vinkeln mellan positiva Reella Axeln (x-axeln) och riktningen till punkten (a, b). Vinkeln kan beräknas med arg(z) = tan-1(b/a)
Exempel: |
Polär formDet komplexa talet a + bi kan beskrivas med trigonometri. Räknat från origo ligger talet |z| enheter bort och vinkeln mot x-axeln ges av arg(z) = φ. Koordinaterna för z blir då a = Re(z) = |z| · cos φ b = Im(z) = |z| · sin φ z kan då skrivas: z = a + bi = |z| · cos(φ) + |z| · sin(φ)·i = |z| (cos φ + i sin φ)
Exempel: |
Multiplikation i polär formDet komplexa talet z = a + bi kan skrivas i polär form som z = r (cos φ + i sinφ)där r = |z| = √a² + b² är längden av z och φ = arg(z) är vinkeln mellan x-axeln och riktningen från origo till z z1 = a + bi = r1(cos φ + i sin φ) z2 = c + di = r2(cos θ + i sin θ) z1 · z2 = r1 (cos φ + i sin φ) · r2 (cos θ + i sin θ) z1 · z2 = r1 · r2 (cos φ + i sin φ) · (cos θ + i sin θ) som blir sedan parenteserna multiplicerats ihop: z1 · z2 = r1 · r2 (cos φ · cos θ + cos φ · i sin θ + i sin φ · cos θ + i sin φ · i sin θ) Samla ihop realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig: z1 · z2 = r1 · r2 (cos φ · cos θ + i sin φ · i sin θ + i (cos φ · sin θ + sin φ · cos θ ) Sätt i² = -1 ger: z1 · z2 = r1 · r2 (cos φ · cos θ - sin φ · sin θ + i (cos φ · sin θ + sin φ · cos θ ) Med hjälp av formelsamlingen och additionsformlerna för sinus och cosinus ser man att den röda texten kan ersättas med cos(φ + θ) och den blå med sin(φ + θ)
z1 · z2 = r1 · r2 (cos(φ + θ) + i sin(φ + θ))
z1 · z2 · z3 = r1 · r2 · r3 (cos(φ + θ + ρ) + i sin(φ + θ + ρ)) Division i polär formz = a + bi = r·(cos φ + i sin φ)w = c + di = s·(cos θ + i sin θ) z = a+bi = r(cos φ+isin φ) w c+di s(cos θ+isin θ)Förläng med konjugatuttrycket: z = a+bi = r(cos φ+isin φ)(cos θ-isin θ) w c+di s(cos θ+isin θ)(cos θ-isin θ)Täljarens parenteser kan skrivas om till (cos φ · cos θ + cos φ · (-i sin θ) + i sin φ · cos θ + i sin φ · (-i sin θ)) Samla ihop de imaginära delarna cos φ · cos θ + i sin φ · (-i sin θ) + i (cos φ · (-sin θ) + sin φ · cos θ) tänk på att i² = -1 cos φ · cos θ + sin φ · sin θ + i (-cos φ · sin θ + sin φ · cos θ) Formelsamlingen ger att den röda realdelen kan ersättas med cos(φ - θ) och den imaginära blå delen med sin(φ - θ)
Utvecklar man nämnaren z / w = r / s · (cos(φ - θ) + i sin(φ - θ) ) |
De Moivres formelMed de Moivres formel kan man beräkna zn eller n√z där n är ett heltal.Skriv z på polär form. z = r · (cos(φ) + i sin(φ)) Då blir zn = (r · (cos(φ) + i sin(φ)))n = rn · (cos(n·φ) + i sin(n·φ)) Om z = r · (cos(φ) + i sin(φ)) så blir n√z = n√r · (cos((φ + k·2π)/n) + i sin((φ + k·2π)/n)) där k är ett heltal. För att få de n olika rötterna ska k genomlöpa värdena 0 till n-1. |
upp
Eulers formeleiv = cos v + i·sin vBevis för Eulers formelExponentialfunktionen ex kan serieutvecklas till en sk. Taylor-serie:ex = 1 + x/1! + x2/2! + x3/3! + x4/4! + x5/5! + x6/6! + x7/7! + ... (3! uttalas tre-fakultet och betyder produkten av de naturliga talen 1·2·3. 4! = 1·2·3·4.) På liknande sätt kan sin x och cos x utvecklas: sin x = x − x3/3! + x5/5! − x7/7! + ... sin x (blå) och serieutveckling med 4 termer (röd) Kurvorna är nästan identiska mellan -3 och +3. cos x = 1 − x2/2! + x4/4! − x6/6! + ... Sätter man i uttrycket ex istället exponenten till ix blir det: eix där x är ett reellt tal. eix kan serieutvecklas till: eix = 1 + ix/1! + (ix)2/2! + (ix)3/3! + (ix)4/4! + (ix)5/5! + (ix)6/6! + (ix)7/7! + ... Med i2 = -1 blir detta: eix = 1 + ix/1! − x2/2! − ix3/3! + x4/4! + ix5/5! − x6/6! − ix7/7! + ... Skriver man om termerna och bryter ut i får man: eix = (1 − x2/2! + x4/4! − x6/6! + ...) + i( x/1! − x3/3! + x5/5! − ix7/7! + ...) som kan skrivas: eix = cos x + i· sin x |
home |