bilder/logoolleh.gif

Olleh:s teorisamling - Räta linjer

home

Räta linjens ekvation

En rät linje har en graf som ser ut som ett rakt streck. Den kommer att korsa y-axeln någonstans och ha en lutning mot x-axeln som är olika för olika räta linjer.

bilder/ratlinje1.GIF
Bilden visar en rät linje som korsar y-axeln för y = 1. Detta värde kallas linjens m-värde ("möte med y-axeln").

På bilden syns att linjen går genom punkten (0, 1) och punkten (2, 5).
Man kan beskriva linjens lutning k med hjälp av de båda punkternas koordinater.

k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
I figuren blir k
k = (5 - 1) / (2 - 0) = 4/2 = 2

De röda strecken bildar tillsammans med linjen en rätvinklig triangel. Dess höjd är 4 och bredden är 2.
Delar man triangelns höjd med triangelns bredd får man också fram ett värde på k.
k = höjd / bredd = 4 / 2 = 2.

Alla punkter på den räta linjen har en x-koordinat och en y-koordinat.
Sambandet mellan koordinaterna kallas linjens ekvation. Det gäller att

y = k·x + m

För linjen i figuren gäller att y = 2·x + 1
(k = 2 och m = 1)

Räta linjen y = 1·x + 2

ritalinje.GIF
Av linjens ekvation ser man att linjen korsar y-axeln för y = 2. (m-värdet)
Rita en punkt på y-axeln. (blå i figuren)
Man ser också på ekvationen att k = 1. Men då lutningen k kan beräknas med
k = höjd / bredd för en rätvinklig triangel så kan man skriva

k = 1 = 1 / 1 = höjd / bredd, dvs. bredd = 1 och höjd = 1.

Så med utgångspunkt på y-axeln (blå punkt) tar man 1 steg åt höger (bredd = 1) och sedan 1 steg upp (höjd = 1) och sätter en punkt (röd).
Fortsätt: 1 steg höger, 1 steg upp och sätt en punkt. (röd)
Fortsätt: 1 steg höger, 1 steg upp och sätt en punkt. osv.
Nu har man ritat punkter som ligger på linjen.
Förbind punkterna med ett rakt streck.

Linjen y = 1·x + 2 är ritad (grå linje).

Räta linjen y = 0.5x + 1

ratlinje05.GIF
Man ser att m = 1, dvs. linjen skär y-axeln i y = 1. (blå punkt)
och k = 0.5 som kan skrivas som ett bråktal:
k = 0.5 = 1/2 = höjd / bredd
Gå ut från 1 på y-axeln (blå punkt). Tag 2 steg åt höger (bredd = 2) och sedan 1 steg uppåt (höjd = 1) och sätt en punkt (röd).
Man kan göra likadant fast tvärtom åt vänster också. Tag 1 steg neråt och 2 steg vänster och sätt en punkt (rödvit).
Drag ett rakt streck genom punkterna.

Linjen y = 0.5x + 1 är ritad (grå linje).

Räta linjen y = -2x + 3

linje3-2x.GIF
Linjens lutning k ges av talet framför x. k = -2
Linjen m-värde är 3 vilket betyder att linjen korsar y-axeln för y = 3
Börja med att rita en punkt på y-axeln där y = 3. (blå punkt)
Kurvans lutning k = -2 kan skrivas som ett bråktal. k = -2/1 = höjd / bredd. Triangelns bredd är 1 steg och höjden -2 steg dvs. 2 steg neråt.
Från blå punkt går man 1 steg åt höger (bredd = 1) och sedan 2 steg neråt (höjd = -2), så kommer man till en ny punkt (röd) på linjen.
Upprepa: 1 steg höger och 2 steg neråt till ny punkt.
Förbind punkterna med en linje.

Linjen y = -2x + 3 är ritad (grå linje).

Räta Linjen y = 2/3·x - 1

linje2-3x-1.GIF
Av linjens ekvation kan man utläsa att m = -1
Linjens lutning k = 2/3
Linjen korsar y-axeln för y = -1 (blå punkt) och dess lutning k = 2/3 = höjd / bredd.
Från blå punkt tar man 3 steg åt höger (bredd = 3) och 2 steg uppåt (höjd = 2), så kommer man till en ny punkt (röd) på linjen.
Drag en linje genom de två punkterna.

Den räta linjen y = 2/3·x - 1 går genom punkterna (0, -1) och (3, 1) är nu ritad.

Linjen genom punkterna (1, 3) och (2, 5)

linje2x-1.GIF
Beräkna linjens k-värde.
k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
k = (5 - 3) / (2 - 1) = 2 / 1 = höjd / bredd = 2.

Använd linjens ekvation
y = k·x + m
och sätt in en punkts koordinater (1, 3) på x och y samt k-värdet.

y = k · x + m
3 = 2 · 1 + m

Beräkna m.
3 = 2 + m
3 - 2 = m
1 = m
Linjens ekvation blir
y = 2x + 1

Linjen skär y-axeln för y = 1 och har lutningen k = 2.

home