Det magiska A-formatet
Man har bestämt att A-formatet ska ha följande egenskaper:
- Varje pappers format ska vara likformigt med alla andra papper.
- Det största formatet kallas A0 och har arean 1 m2
- Nästa mindre format får man genom att dela papperet längs mittpunktsnormalen för den största sidan.
Beräkning på A0
Sätt den korta sidan till x och den långa sidan till y.
Arean för A0-papperet ska vara 1 m²
x · y = 1 (ekv. 1)
Likformighet för papprena ger att
(korta sidan)/(långa sidan) =
(y/2)/(x) = (x)/(y)
som kan skrivas
(y²)/(2) = x²
eller
y² = 2· x ²
Lös ut y:
y = √2 · x
Insättning av detta i ekv.1 ger
x · (√2 · x) = 1
x² √2 = 1
x² = (1)/(√2) =
(1)/(21/2) =
2 -1/2
x² = 2(-1/2) ger
x = √2 -1/2
=
(2 -1/2)1/2 =
2-1/4
och y = √2 · x =
√2 ·
2-1/4 =
21/2 · 2-1/4 =
21/4
A0
Längsta sidan y = 21/4 ≈ 1.1892071150027 m
Kortaste sidan x = 2-1/4 ≈ 0.840896415254 m
A1
Dela längsta sidan med 2 så blir det den kortaste sidan
Längsta sidan x = 2-1/4 ≈ 0.840896415254 m
Kortaste sidan y/2 = 21/4 / 2 = 21/4 · 2-1 = 21/4 - 4/4 = 2-3/4 ≈ 0.594603557501 m
För nästa mindre format delar man längsta sidan med 2 osv....
| format | längsta sidan | kortaste sidan | längsta sidan | kortaste sidan |
| A0 | 21/4 |
2-1/4 |
1189 mm |
841 mm |
| A1 | 2-1/4 |
2-3/4 |
841 mm |
595 mm |
| A2 | 2-3/4 |
2-5/4 |
595 mm |
420 mm |
| A3 | 2-5/4 |
2-7/4 |
420 mm |
297 mm |
| A4 | 2-7/4 | 2-9/4 |
297 mm |
210 mm |
| A5 | 2-9/4 | 2-11/4 |
210 mm |
149 mm |
| A6 | 2-11/4 | 2-13/4 |
149 mm |
105 mm |
| A7 | 2-13/4 | 2-15/4 |
105 mm |
74 mm |
| A8 | 2-15/4 | 2-17/4 |
74 mm |
53 mm |
| A9 | 2-17/4 | 2-19/4 |
53 mm |
37 mm |
| A10 | 2-19/4 | 2-21/4 |
37 mm |
26 mm |
| A11 | 2-21/4 | 2-23/4 |
26 mm |
19 mm |
Och nu har man kommit till ungefär storleken av ett frimärke
A-formatets areor
A0 har arean 1 m² och A1 har då halva arean = 0.5 m² = 2-1 m²
Det behövs 2 st A1 för att få 1 m² = A0.
...
| format | längd x bredd | area (m²) | antal för 1 m² |
| A0 |
21/4 · 2-1/4 = 20/4 |
20 = 1 |
20 = 1 |
| A1 |
2-1/4 · 2-3/4 = 2-4/4 |
2-1 = 0.5 |
21 = 2 |
| A2 |
2-3/4 · 2-5/4 = 2-8/4 |
2-2 = 0.25 |
22 = 4 |
| A3 |
2-5/4 · 2-7/4 = 2-12/4 |
2-3 = 0.125 |
23 = 8 |
| A4 |
2-7/4 · 2-9/4 = 2-16/4 |
2-4 = 0.0625 |
24 = 16 |
| A5 |
2-9/4 · 2-11/4 = 2-20/4 |
2-5 = 0.03125 |
25 = 32 |
| A6 |
2-11/4 · 2-13/4 = 2-24/4 |
2-6 = 0.015625 |
26 = 64 |
osv...
Ett papper i formatet A12 har måtten 2-23/4 · 2-25/4
och arean 2-12 m² ≈ 0.000244140625 m² ≈ 2.4 cm² och det behövs 212 4096 st för att täcka en kvadratmeter.
Vik ihop ett A4 till en cylinder och beräkna volymen
Cylinderns radie = r och höjden = h
Med ett A4-papper kommer cylinderns omkrets O = 2πr att vara 210 mm och höjden h = 297 mm.
Lös ut radien r:
2πr = 210
r = (210)/(2π) ≈ 33.42 mm.
Volymen blir:
V = B · h = πr² · h =
Vlilla = π·((210)/(2π)/span>)
2 · 297 = 1042281 mm³ ≈ 1.04 liter
Väljer man att göra cylindern åt andra hållet, kommer omkretsen = 2πr att vara 297 mm och höjden h = 210 mm.
Lös ut radien r:
2πr = 297
r = (297)/(2π) ≈ 47.27 mm.
Volymen blir:
V = B · h = πr² · h =
Vstora = π·
((297)/(2π))2 · 210 = 1474084 mm³ ≈ 1.47 liter
Delar man den senare volymen med den tidigare
får man (1474084)/(1042281) =
1.41428655
Detta tal är mistänkt likt √2 ≈ 1.414213562
Detta måste undersökas närmare:
Med den korta sidan som x blir den långa sidan x·√2 och man får:
Stora volymen = π·((x·√2)/(2π))2·x
Lilla volymen = π·((x)/(2π))2·(x·√2)
Dividerar man stora volymen med lilla volymen kommer alla π att kunna förkortas bort liksom 2:an i nämnaren i parenteserna och kvar blir:
(stora volymen)/(lilla volymen) =
((x·√2)2 · x)/(x2 · (x·√2)) =
(x2·√2·√2·x)/(x2·x·√2) = √2
( Här kan alla x förkortas bort liksom 2 st √2 )
Den stora volymen är exakt √2 gånger större än den lilla volymen!
Hur blir förhållandet mellan volymerna om papprets höjd = 2 · bredden?
Lilla volymen där omkretsen b = 2πr och höjden är h = 2·b
Lös ut r:
r = (b)/(2π)
Vlilla = Basytan · höjd =
πr2 · 2·b =
π((b)/(2π))2 · 2·b =
(b² · 2b)/(4π) =
(b3)/(2π)
Stora volymen där omkretsen 2πr = 2b och höjden = b
Lös ut r:
r = (2b)/(2π) = (b)/(π)
Vstora = Basytan · höjd = πr2 · b =
π((b)/(π))2 · b =
(b3)/(π)
Stora volymen är dubbelt så stor som lilla volymen!