Hjälp till Övningar på Algebra














fråga 1

Tips:
Varje term i första parentesen ska multipliceras med den andra parentesen.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









(x + 1)(x - 1)
x(x - 1) + 1(x - 1)
x·x + x·(-1) + 1·x + 1·(-1)
x² - x + x - 1
x² - 1
Tillbaka













fråga 2

Tips:
Skriv som produkt av två parenteser. Använd kvadreringsregeln.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









(x + 2)²
(x + 2)(x + 2)
x(x + 2) + 2(x + 2)
x² + 2x + 2x + 2·2
x² + 4x + 4
Skriv detta som
x^2+4x+4
Tillbaka













fråga 3

Tips:
Multiplicera varje term med varje term.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









(2x + 2)(3x - 2)
2x(3x - 2) + 2(3x -2 )
2x·3x + 2x·(-2) +2·3x + 2·(-2)
6x² - 4x + 6x - 4
6x² + 2x - 4
Skriv detta som
6x^2+2x-4
Tillbaka













fråga 4

Tips:
bryt ut x.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Då det finns x i båda termerna, kan x brytas ut.
x² - 4x
x(x - 4)

Kontrollera genom att multiplicera in i parentesen igen.
Tillbaka













fråga 5

Tips:
Första Kvadreringsregeln.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Tänk så här.
Första termen x² kan skrivas som x·x
Sista termen 4 kan skrivas som 2·2
är det två likadana parenteser som multipliceras ska det stå x först i parentesen och 2 sist i parentesen.
(x + 2)
Den mellersta termen, den blandade termen ska bestå av 2 st x · 2 = 4x, vilken den gör.
Alltså
Det är (x + 2)²
Skriv detta som (x+2)^2
Tillbaka













fråga 6

Tips:
Misstänk Konjugatregeln då det bara är två termer med minus emellan.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Första termen x² kan skrivas som x·x
Sista termen -25 kan skrivas som -5·5
Det är minus mellan termerna så Konjugatregeln ska användas.
Ena parentesen är (x + 5). Den andra parentesen är (x - 5). Blandtermerna tar ut varandra.
svar = (x+5)(x-5)
Tillbaka













fråga 7

Tips:
Bryt ut x först.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









x finns i alla termerna så x kan brytas ut.
x³ - 4x² + 4x
x(x² - 4x + 4)

Parentesen (x² - 4x + 4)
kan skrivas om med Kvadreringsregeln.
Första termen x² = x·x
Sista termen 4 = 2·2
Enligt kvadreringsregeln blir det ett x först i parentesen och 2 sist i parentesen.
(x   2)

Blandtermen -4x = 2 st 2x ( 2 · första term · sista term)
Eftersom blandtermen är minus (-4x) så ska tecknet i parentesen vara minus.
(x - 2)²
Skriv detta som (x-2)^2

Glöm inte det första utbrutna x:et.
Svar = x(x-2)^2
Tillbaka













fråga 8

Tips:
Misstänk Konjugatregeln i täljaren.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Täljaren (x² - 1)
Första termen x² kan skrivas x·x
sista termen -1 kan skrivas 1·(-1)
Blandterm saknas. Det är Konjugatregeln
Täljaren kan skrivas
(x + 1)(x - 1)
(x+1)(x-1)
x+1
Förkorta med (x + 1)
(x-1)
1
Svaret blir (x-1) som skrivs utan parentes:
svar = x-1
Tillbaka













fråga 9

Tips:
Misstänk Konjugatregeln.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Täljaren
4x² - 9.
Första termen 4x² kan skrivas 2x·2x
Sista termen -9 kan skrivas 3·(-3).
Blandterm saknas. Det är konjugatregeln:
(2x + 3)(2x - 3)
4x²-9
2x-3
(2x+3)(2x-3)
2x-3
Förkorta med (2x - 3)
(2x+3)
1
Som skrivs utan parentes
2x + 3
Tillbaka













fråga 10

Tips:
Misstänk Konjugatregeln men bryt ut först.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Täljaren
4x³ - 9x har x i båda termerna så x kan brytas ut.
x(4x² - 9)

Nämnare 2x² + 3x har x i båda termerna så x kan brytas ut
x(2x + 3)
4x³-9x
2x²+3x
kan då skrivas
x(4x²-9)
x(2x+3)
förkorta med x
4x²-9
2x+3
Täljaren igen.
Den består av två termer med minus emellan. Konjugatregeln
första termen 4x² kan skrivas 2x·2x
Sista termen -9 kan skrivas 3·(-3).
Blandterm saknas.
Alltså
(2x + 3)(2x - 3)

Hela bråket
(2x+3)(2x-3)
2x+3
Förkorta med (2x + 3)
2x-3
1
som skrivs 2x-3
Tillbaka













fråga 11

Tips:
Börja med att bryta ut.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Alla termer i täljaren är delbara med 2. Bryt ut 2.
2x² + 4x + 2
2(x² + 2x + 1)

Parentesen i täljaren:
Första termen x² kan skrivas x·x
Sista termen 1 kan skrivas 1·1
Blandtermen 2x = 2 · första term · sista term ( 2· x · 1 = 2x)
Parenteserna ska då innehålla x och 1
(x   1)²
Tecknet för blandtermen (+2x) är plus.
(x + 1)²

Hela bråket
2(x+1)²
(x+1)
Förkorta med (x + 1)
2(x+1)
1
Som blir 2(x + 1) = 2x + 2
Tillbaka













fråga 12

Tips:
Bryt ut x ur täljaren.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt








 9x³-16x  
9x²-24x+16
Bryt först ut x ur täljaren
 x(9x²-16)  
9x²-24x+16
Täljaren:
Parentesens första term 9x² = 3x·3x
Andra termen -16 = 4·(-4)
Blandterm saknas så Konjugatregeln används:
(3x + 4)(3x - 4)
x(3x+4)(3x-4)
9x²-24x+16
Nämnaren:
Första termen 9x² = 3x·3x
Sista termen 16 = 4·4 = (-4)(-4)
Kvadreringsregeln ger parentesen:
(3x   4)²
Blandtermen -24x = 2 · 3x · (-4)
Kvadreringsregelns Blandterm stämmer med
(3x - 4)² = (3x - 4)(3x - 4)
Hela uttrycket blir
x(3x+4)(3x-4)
(3x-4)(3x-4)
Förkorta med (3x - 4)
x(3x+4)
(3x-4)
Skriv detta med snett bråkstreck:
x(3x+4)/(3x-4)
Tillbaka













fråga 13

Tips:
Täljaren ser ut som en Kvadreringsregel.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Täljaren:
x² - 4x + 4
Första termen x² = x·x
Sista termen 4 = 2·2 = (-2)(-2)
Blandtermen -4x = 2 · x · (-2)
Blandtermen stämmer med kvadreringsregeln. Täljaren ska då se ut så här:
(x - 2)²

Nämnare:
x² - 2x
x finns i båda termerna. Bryt ut x.
x(x - 2)

Hela uttrycket
(x-2)²
x(x-2)
förkorta med (x - 2)
(x-2)
x
Skriv med snett bråkstreck
svar = (x-2)/x
Tillbaka













fråga 14

Tips:
Bryt ut x ur täljaren.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Täljaren:
x(x³ - 16x)
Båda termerna i parentesen innehåller x. Bryt ut x.
x·x(x² - 16)

Misstänk Konjugatregeln i parentesen:
Första termen x² = x·x
Sista termen -16 = 4·(-4)
Blandterm saknas. Konjagutregeln ger då
(x + 4)(x - 4)

Hela uttrycket blir
x²(x+4)(x-4)
(x+4)
Förkorta med (x + 4)
x²(x-4)
1
Skriv detta som
x^2(x-4)
Tillbaka













fråga 15

Tips:
Konjugatregeln.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Täljaren:
x² - 9
Första termen x² = x·x
Sista termen -9 = 3·(-3)
Blandterm saknas. Enligt konjugatregeln ska då parenteserna vara
(x + 3)(x - 3)

Hela bråket:
x²-9
3+x
kan skrivas
(x+3)(x-3)
(3+x)
Då (x + 3) är samma sak som (3 + x) kan dessa förkortas
(x-3)
1
som blir
svar =x-3
Tillbaka













fråga 16

Tips:
Konjugatregeln.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Täljaren:
x² - 16
Första termen x² = x·x
Sista termen -16 = 4·(-4)
Blandterm saknas. Enligt konjugatregeln blir täljaren
(x + 4)(x - 4)
Hela bråket
(x+4)(x-4)
4-x
Bryt ut (-1) i täljarens andra parentes
(x+4)(-1)(-x+4)
4-x
(-x + 4) kan skrivas (4 - x).
Det går att förkorta med (4 - x)
(x+4)(-1)
1
som skrivs efter inmultiplicering
-x - 4
Tillbaka













fråga 17

Tips:
Kvadreringsregeln då täljaren har 3 termer.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Täljaren:
x² - 4x + 4
Första termen x² = x·x
Sista termen 4 = 2·2
Blandtermen -4x = 2 · x · (-2)
Kvadreringsregeln gäller. Parentesen kan skrivas
(x   2)²
Då blandtermen (-4x) är negativ blir tecknet minus i parentesen.
(x - 2)²
Hela bråket
x²-4x+4
2-x
(x-2)(x-2)
2-x
Bryt ut (-1) ur täljarens första parentes
(-1)(-x+2)(x-2)
2-x
Skriv om (-x + 2) till (2 - x)
(-1)(2-x)(x-2)
(2-x)
Förkorta med (2 - x)
(-1)(x-2)
1
som blir (-1)(x - 2) = -x + 2 = 2 - x
Svar = 2 - x
Tillbaka













fråga 18

Tips:
Kvadreringsregeln.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Täljaren:
x² - 6x +9
Första termen x² = x·x
Sista termen 9 = 3·3 = (-3)(-3)
Blandtermen -6x = 2 · x · (-3)
Kvadreringsreglen gäller. Täljaren kan skrivas
(x   3)²
Tecknet i parentesen blir minus då blandtermen (-6x) är negativ.
(x - 3)²
Hela bråket
x²-6x+9
3-x
Kan skrivas
(x-3)(x-3)
3-x
bryt ut (-1) ur täljarens första parentes
(-1)(-x+3)(x-3)
3-x
Skriv om (-x + 3) till (3 - x)
(-1)(3-x)(x-3)
3-x
Förkorta med (3 - x)
(-1)(x-3)
1
som kan skrivas
(-1)(x - 3) = -x +3 = 3 - x
Svar = 3-x
Tillbaka













fråga 19

Tips:
Kvadreringsregeln.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt









Täljaren:
x² + 6x + 4
Första termen x² = x·x
Sista termen 4 = 2·2
Blandtermen 6x = 2 · x · 3
Här kan inte kvadreringsregeln användas för blandtermen stämmer inte.
Täljaren kan inte skrivas om till en (x + 2)²

Bråket går inte att förenkla.
svar =(x^2+6x+4)/(x+2)
Tillbaka