Hjälp till Övningar på Diffekvationer














fråga 1

Tips:
Hitta en funktion som har x² som derivata.

Tillbaka













fråga 2

Tips:
Hitta en funktion som har e2x som derivata.

Tillbaka













fråga 3

Tips:
Finn en funktion som har derivatan y' = sin(x)

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








derivatan av y = sin(x) är y' = cos(x)
derivatan av y = cos(x) är y' = -sin(x)

Så derivatan av y = -cos(x) är y' = -(-sin(x)) = sin(x)
Tillbaka













fråga 4

Tips:
e-kx har derivatan -k·e-kx

Tillbaka













fråga 5

Tips:
y = C·ekx har derivatan y' = k·C·ekx

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y + 2y' = 0
Om y = C·ekx
blir y' = k·C·ekx

Sätt in i ekvationen.
C·ekx + 2·k·C·ekx = 0
Bryt ut C·ekx.
C·ekx (1 + 2·k) = 0

För att detta ska vara en lösning måste
k = -0.5
Tillbaka













fråga 6

Tips:
Sätt y = C·ekx

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt







y = C·ekx
2y + y' = 0
2 · C·ekx + k · C·ekx = 0

Bryt ut C·ekx
C·ekx ( 2 + k) = 0
ger
k = -2
Tillbaka













fråga 7

Tips:
Sätt y = C·ekx

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








3y + 6y' = 0
3·C·ekx + 6·k·C·ekx = 0
Bryt ut C·ekx

C·ekx (3 + 6·k) =0

Lösningen blir
(3 + 6·k) =0
3 + 6·k =0
6·k = -3
k = -3/6 = -0.5
Tillbaka













fråga 8

Tips:
Sätt y = C·ekx

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y = C·ekx
y' = k·C·ekx


y = y'
C·ekx = k·C·ekx

för att likheten ska gälla ska k = 1.
Tillbaka













fråga 9

Tips:
Sätt y = C·ekx

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y = C·ekx
y' = k·C·ekx


y = 5y'
C·ekx = 5·k·C·ekx

för att likheten ska gälla ska
5·k = 1.
k = 1/5 = 0.2
Tillbaka













fråga 10

Tips:
Hitta en funktion som har 2x + 3 som derivata.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y' = 2x + 3
y = 2x2/2 + 3x + C
y = x2 + 3x + C
Tillbaka













fråga 11

Tips:
Hitta funktionen som har cos(x) + 5 som derivata.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y' = cos(x) + 5
y = sin(x) + 5x + C
Tillbaka













fråga 12

Tips:
Skriv om ekvationen till y' = -10e2x

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y' = -10e2x
y = -10e2x/2 + C = -5e2x + C
Tillbaka













fråga 13

Tips:
Ansätt y = b

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y = b
y' = 0

diffekvationen blir
y' + 4y = 12
0 + 4·b = 12
4·b = 12
b = 3
Tillbaka













fråga 14

Tips:
Ansätt partikulärlösningen y = ax + b

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y = ax + b
y' = a

Ekvationen blir då
y' + y = 2x
(a) + (ax + b) = 2x
Då ska x-termerna vara lika:
ax = 2x
ger a = 2

Konstanttermerna ska vara lika:
a + b = 0
2 + b = 0
b = -2

Partikulärlösning är y = 2x - 2

Kontrollera lösningen
y' + y = 2x
(-1·C·e-x + 2) + (C·e-x + 2x - 2) = 2x
vilket stämmer.
Tillbaka













fråga 15

Tips:
Ansätt y = ax² + bx + c

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y = ax² + bx + c
y' = 2ax + b

Diffekvationen blir då
y' + 6y = x²
(2ax + b) + 6(ax² + bx + c) = x²
2ax + b + 6ax² + 6bx + 6c = x²

Jämför x²-termerna:
6ax² = x²
ger a = 1/6

Jämför x-termerna:
2ax + 6bx = 0x
2·1/6·x + 6bx = 0x
2/6 + 6b = 0
6b = -2/6
b = -2/(6·6) = -2/36 = -1/18

Jämför konstant-termerna:
b + 6c = 0
6c = -b
c = -b/6
c = -(-1/18)/6 = 1/108

Partikulärlösningen blir
y = 1/6·x² - 1/18·x + 1/108


Kontrollera lösningen:
y' = 1/3·x - 1/18
6y = 6·1/6·x² - 6·1/18·x + 6·1/108 = x² - 1/3·x + 1/18

insatt i diffekvationen:
y' + 6y = x²
1/3·x - 1/18 + x² - 1/3·x + 1/18 = x²
Tillbaka













fråga 16

Tips:
Sätt y = C·ekx

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y = C·ekx
y' = k·C·ekx

y + 2y' = 0
Sätt in uttrycken.
C·ekx + 2·k·C·ekx = 0

Bryt ut C·ekx
C·ekx (1 + 2·k) = 0
1 + 2·k = 0
k = -1/2 = -0.5

y = C·e-0.5x

För x = 0 skall detta uttryck få värdet y = 2
C·e-0.5·0 = 2
C·e0 = 2
C·1 = 2
C = 2

Lösningen blir
y = 2·e-0.5x
Tillbaka













fråga 17

Tips:
Hitta en primitiv funktion till cos(x)

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y' = cos(x)
y = sin(x) + C

Med begynnelsevillkoret y(π) = 2
sin(π) + C = 2
0 + C = 2
C = 2

Lösningen blir
y = sin(x) + 2
Tillbaka













fråga 18

Tips:
Sätt y = C·ekx

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








y = C·ekx
y' = k·C·ekx

y' + 5y = 2x + 4
Bestäm allmänna lösningen först.
y' + 5y = 0
k·C·ekx + 5·C·ekx = 0
Bryt ut C·ekx
C·ekx (k + 5) = 0
har lösningen
k = -5

Allmänna lösningen blir
y = C·e-5x

Partikulärlösningen:
Sätt y = ax + b
y' = a
Ekvationen blir
y' + 5y = 2x + 4
a + 5(ax + b) = 2x + 4
Jämför x-termerna:
5ax = 2x
ger a = 2/5 = 0.4

Jämför konstant-termerna:
a + 5b = 4
0.4 + 5b = 4
5b = 4 - 0.4
5b = 3.6
b = 3.6/5
b = 0.72

Partikulärlösningen är
y = 0.4x + 0.72

Totala lösningen är
y = C·e-5x + 0.4x + 0.72

Begynnelsevillkoret
y(0) = 1 ger
C·e-5·0 + 0.4·0 + 0.72 = 1
C·1 + 0.72 = 1
C = 1 - 0.72 = 0.28

y = 0.28·e-5x + 0.4x + 0.72
Tillbaka