Hjälp till Övningar på Ekvationer
fråga 1
Tips:
Faktorisera. Bryt ut x.
Tillbaka
fråga 2
Tips:
Tänk på att -1 = i · i.
Tillbaka
fråga 3
Tips:
Använd pq-formeln.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
x² - 8x + 25 = 0
x = 4 ± √4² - 25
x = 4 ± √-9
x = 4 ± i √9
x = 4 ± 3i
x1 = 4 + 3i
x2 = 4 - 3i
Tillbaka
fråga 4
Tips:
Använd pq-formeln.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
z² + 2z + 10 = 0
z = -1 ± √1² - 10
z = -1 ± √-9
z = -1 ± i √9
z = -1 ± 3i
z1 = -1 + 3i
z2 = -1 - 3i
Tillbaka
fråga 5
Tips:
Använd pq-formeln.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
z² - 6z + 18 = 0
z = 3 ± √3² - 18
z = 3 ± √9 - 18
z = 3 ± √-9
z = 3 ± i √9
z = 3 ± 3i
z1 = 3 + 3i
z2 = 3 - 3i
Tillbaka
fråga 6
Tips:
Skriv -8 på polär form.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
z³ = -8
z³ = 8 (cos 180° + i sin 180°)
z³ = 2³ (cos 180° + i sin 180°)
Använd de Moivres formel.
z³ = 2³ (cos 3·60° + i sin 3·60°)
En lösning är:
z = 2 (cos 60° + i sin 60°)
Lägg till 360°/3 till argumentet.
60° + 360°/3 = 180°
En annan lösning blir
z = 2 (cos 180° + i sin 180°)
Lägg till 720°/3 till argumentet.
60° + 720°/3 = 300°
En tredje lösning blir
z = 2 (cos 300° + i sin 300°)
Tillbaka
fråga 7
Tips:
Lös med pq-formeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
z² + 2iz + 15 = 0
z = -i ± √ i² -15
z = -i ± √-1 -15
z = -i ± √-16
z = -i ± i √16
z = -i ± 4i
z1 = -i + 4i = 3i
z2 = -1 - 4i = -5i
Tillbaka
fråga 8
Tips:
Lös med pq-formeln.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
z² - 4iz - 13 = 0
z = 2i ± √(2i)² + 13
z = 2i ± √ -4 + 13
z = 2i ± √9
z = 2i ± 3
z1 = 2i + 3
z2 = 2i - 3
Tillbaka
fråga 9
Tips:
Skriv 1 + i √3 på polär form.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
1 + i √3 = 2 (cos 60° + i sin 60°)
skriv om till de Moivres formel.
z5 = (5√2 )5 (cos(5·12°) + i sin(5·12°))
som har en lösning:
z1 = 5√2 (cos 12° + i sin 12°)
Lägg till perioder. Argumentet blir
12° + n · 360°/5 = 12° + n · 72°
De övriga lösningarna blir:
z2 = 5√2 (cos 84° + i sin 84°)
z3 = 5√2 (cos 156° + i sin 156°)
z4 = 5√2 (cos 228° + i sin 228°)
z5 = 5√2 (cos 300° + i sin 300°)
Tillbaka
fråga 10
Tips:
Förläng med konjugatuttrycket.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
1+2i = (1+2i)(1+ai)
1-ai (1-ai)(1+ai)
1·1+2i·ai + 1·ai+2i·1
1+a²
1-2a + i(a+2)
1+a²
För att detta tal ska vara rellt måste imaginärdelen vara noll.
a + 2 = 0
a = -2
Tillbaka
fråga 11
Tips:
Sätt z = a + bi
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
z = a - bi
Vilket ger ekvationen
z + 2z = 3 + 5i
a - bi + 2(a + bi) = 3 + 5i
Samla realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig:
a + 2a = 3
-b + 2b = 5
Vilket ger
a = 1
b = 5
z = 1 + 5i
Tillbaka
fråga 12
Tips:
Sätt z = a + bi. Då blir z = a - bi.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
z + 2z = 3 + 4i
a + bi + 2(a - bi) = 3 + 4i
a + bi + 2a - 2bi = 3 + 4i
3a - bi = 3 + 4i
Sätt realdelarna lika och imaginärdelarna lika.
3a = 3
-b = 4
Vilket ger
a = 1
b = -4
z = 1 - 4i
Tillbaka
fråga 13
Tips:
Sätt z = a + bi
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
z + 2i = 4 - 3iz
Ersätt z med a + bi.
a + bi + 2i = 4 - 3i(a + bi)
a + bi + 2i = 4 - 3ai - 3bi²
a + bi + 2i = 4 - 3ai + 3b
Sätt realdelarna lika och imaginärdelarna lika.
a = 4 + 3b
b + 2 = -3a
Ersätt a i andra raden med 4 + 3b
b + 2 = -3(4 + 3b) = -12 - 9b
b + 2 = -12 - 9b
10b = -12 - 2
b = -1.4
a = 4 + 3·(-1.4) = -0.2
z = -0.2 - 1.4i
Tillbaka
fråga 14
Tips:
Ersätt z i ez med a + bi
ez = ea + bi = -8
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
ea + bi = -8
ea · ebi = -8
Skriv -8 på polär form.
ea · ebi = 8 (cos π + i sin π)
para ihop längder och vinkeldelar
ea = 8
ebi = (cos π + i sin π)
a = ln(8)
b = π
z = ln(8) + iπ
Tillbaka