hjälp till matematik

Hjälp till blandade Övningar i Matematik

fråga 1

Tips:
f(x) = xⁿ ger derivatan f '(x) = nx^n-1

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Deriveringsregeln ger
f '(x) = 3x² - 4

Derivata av en exponentialfunktion f(x) = a·e^kx
f '(x) = k·a·e^kx
f '(x) = 2·5e^2x = 10e^2x

f(x) = 1/x = x^-1
Derivatan blir
f '(x) = (-1)x^-2 = -1/x²
Tillbaka

fråga 2

Tips:
Använd faktorsatsen

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Då funktionen är skriven i faktorform gäller att värdet blir 0 om en av faktorerna är 0.
a) Det är möjligt att alla parenteser blir noll, vilket ger 3 nollställen.

b) Här kan faktorn x bli 0 medan (x² + 10) inte kan bli 0 eftersom x² alltid är positivt. Här blir det 1 nollställe.
Tillbaka

fråga 3

Tips:
Bryt ut x, använd konjugatregeln.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Täljaren
Med x utbrutet
x(x² - 9)
Skriv om parentesen med hjälp av konjugatregeln
x(x + 3)(x - 3)

Förkorta faktorn (x + 3) som finns i både täljare och nämnare.
x(x - 3) / 1 = x(x - 3)
Tillbaka

fråga 4

Tips:
Utveckla med konjugatregeln

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Täljaren:
Använd konjugatregeln på första delen
(x² - 1) - (x + 1)²
(x - 1)(x + 1) - (x + 1)(x + 1)
Bryt ut (x + 1) som finns i båda termerna.
(x + 1)[(x - 1) - (x + 1)]

Förkorta bråket med (x + 1)

(x+1)[(x-1)-(x+1)]
     (x+1)

(x-1)-(x+1)
     1

x-1-x-1
   1

= -2
Tillbaka

fråga 5

Tips:
10^x och lg(x) är inversa funktioner

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Tar man 10^lg(5) så kommer 10^ att göra ogjort det som lg(5) gjort med talet 5. 10^lg(5) = 5.
På samma sätt blir 10^lg(3) = 3

Motsvarande gäller för e^ och ln(x). Tar man ln(e³) kommer ln att göra ogjort det e³ gör så ln(e³) = 3

Svar a) = 8
Svar b) = 300
Tillbaka

fråga 6

Tips:
Derivata = 0 på maxpunkten.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Derivera f(x)
f '(x) = 4 - 2x
Sätt derivatan = 0. På maxpunkten är lutningen = derivatan = 0.
4 - 2x = 0
4 = 2x
4/2 = x
x = 2
Undersök nu om det är en maxpunkt. Rita teckentabell.

Teckentabell
x	0	2	3
f '(x)	+4	0	-2
f(x)	växande	maxpunkt	avtagande
f(x)	.	4	.

I sista raden är funktionens värde beräknat för x = 2.
Maxpunkt = (2, 4)
Tillbaka

fråga 7

Tips:
Derivatans värde visas av grafen.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

För ett lokalt maximum ska teckentabellen se ut så här.

Teckentabell
x	<a	a	a>
f '(x)	+	0	-
f(x)	växande	maxpunkt	avtagande

Först ska derivatan vara positiv, sedan 0 och sedan negativ.
För x = -2 är dessa villkor uppfyllda
För x<-2 är derivatans värde positivt, för x = 2 är derivatans värde = 0 och för x>-2 är derivatans värde negativt fram till x = 1.
Svar x = -2
Tillbaka

fråga 8

Tips:
derivatan är negativ

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Derivara f(x) = x³/3 - 2x²
f '(x) = x² - 4x
Sätt derivatan = 0.
x² - 4x = 0.
Då båda termerna innehåller x, bryt ut x.
x(x - 4) = 0
Lösningarna blir
x₁ = 0
x₂ = 4

Rita teckentabell.

teckentabell
x	-1	0	2	4	5
f '(x)	+5	0	-4	0	+5
f(x)	växande	max	avtagande	min	växande

Funktionen är avtagande i intervallet 0<x<4
Tillbaka

fråga 9

Tips:
Rita en teckentabell.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Då derivatan är i faktorform kan man rita en teckentabell med en rad för varje faktor och sedan multiplicera ihop tecknen.

teckentabell
x	0	1	1.5	2	3
(x - 1)	-	0	+	+	+
(x - 2)	-	-	-	0	+
f '(x)	+	0	-	0	+
f(x)	väx	max	avt	min	väx

(x-1) raden visar när faktorn (x-1) är negativ, 0 och positiv.
(x-2) raden visar när faktorn (x-2) är negativ, 0 och positiv.
Rad f '(x) är produkten av raderna ovan
( - · - = + , 0 · - = 0 osv. )

f(x) är avtagande för 1<x<2
Tillbaka

fråga 10

Tips:
värdet = ursprungsvärdet·förändringsfaktor^tid

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Värdet efter 5 år. Sätt in och beräkna
värdet = 200 000 ·e^-0.15·5 = 94473.3 kr

värdet = ursprungsvärdet·förändringsfaktor^tid
Förändringsfaktorn kan man få fram genom att göra följande.
200 000·e^-0.15x
200 000·(e^-0.15)^x
vilket ger förändringsfaktorn
(e^-0.15)

Beräkna ger
e^-0.15 = 0.86071
som ger förändringen 0.86071 - 1 = -0.13929
Svar Minskning med 14%
Tillbaka

fråga 11

Tips:
Använd logaritmer

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

3·e^2x = 5
Dividera båda leden med 3
3·e^2x / 3 = 5 / 3
e^2x = 5/3
Skriv om 5/3 till en e-potens
e^2x = e^ln(5/3)
Sätt exponenterna lika då basen är samma.
2x = ln(5/3)
Dividera båda leden med 2.
2x / 2 = ln(5/3) / 2
x = ln(5/3) / 2 = 0.25541
Tillbaka

fråga 12

Tips:
för vilka x är ekvationen inte definierad?

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Då nämnaren = 0 är ekvationen inte definierad, dvs. för x - 1 = 0. Det ger att x ≠ 1.

(x²-1) = 2
  x-1

Multiplicera ekvationen med (x - 1) ger
x² - 1 = 2(x - 1)
x² - 1 = 2x - 2
Flytta om termerna så högerledet blir noll.
x² - 1 - 2x + 2 = 0
x² - 2x + 1 = 0
Lös med pq-formeln.
x = 1 ± √1² - 1
x = 1 ± √0
x = 1

Men då x ≠ 1 så finns ingen lösning.

Svar = lösning saknas
Tillbaka

fråga 13

Tips:
Titta på exponenten

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Andra termen 1.05a har 1 faktor 1.05. Sista termen 1.05¹⁰a har 10 faktorer 1.05. Det blir då 11 termer totalt.

Summan av en geometrisk talföljd ges av formeln
S = a · (kⁿ - 1) / (k - 1).
Med a = 100, k = 1.05 och n = 11 blir summan
S = 100·(1.05¹¹ - 1) / (1.05 - 1)
S = 1420.68
Tillbaka

fråga 14

Tips:
Geometrisk talföljd

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Den geometriska talföljden har n = 20 termer. Sista insättningen på 1000 kr = a. Förändringsfaktorn med 4% ränta blir k = 1.04

S = a·(kⁿ - 1) / (k - 1)
Med insatta värden.
S = 1000·(1.04²⁰ - 1) / ( 1.04 - 1)
S = 29778.079

Detta belopp får sitta kvar på kontot i 5 år och blir
S = S·1.04⁵
S = 29778.079·1.04⁵
S = 36229.586
Tillbaka

fråga 15

Tips:
beräkna f(x+h) = f(2.1)

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Kvoten känner man igen som förändringskvoten som förekommer i derivatans definition.
f(x) = x² + x
med insatta värden
f(2) = 2² + 2 = 6
f(x + h) = (x+h)² + (x+h)
Med insatta värden
f(2 + 0.1) = f(2.1) = 2.1² + 2.1 = 4.41 + 2.1 = 6.51

f(x + h) - f(x) blir då
6.51 - 6 = 0.51
x+h - x = h = 0.1

Kvoten blir
0.51 / 0.1 = 5.1
Tillbaka

fråga 16

Tips:
Derivata ≈ lutning

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

f '(1) innebär att man ska bestämma lutningen för x = 1. I grafen finns en linje som går genom två punkter på kurvan och den ena punkten har x = 1. Då punkterna ligger nära varandra blir linjens lutning ≈ kurvans lutning för x = 1.
Linjens lutning k = 2.28, så f '(1) ≈ 2.28
Svar: 2.28
Tillbaka

fråga 17

Tips:
f '(x) = 0 har kurvan i max- eller minpunkt

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

f '(-1) = 0
Kurvan har en max- eller minpunkt för x = -1. Stämmer för alla tre kurvorna.

f '(0) <0
Kurvan ska luta neråt för x = 0. Detta stämmer för kurva a och b.

f '(2) = 0
Kurvan ska ha max- eller minpunkt för x = 2. Detta stämmer för kurva b och c.

Svar kurva b.
Tillbaka

fråga 18

Tips:
Bestäm koordinaterna för A

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

A = (x,f(x))
Arean av rektangeln blir bas · höjd = x · f(x) = x·(3 - x²)
Arean = x(3 - x²) = 3x - x³
Största arean får man där derivatan = 0 eller i någon av kantpunkterna. Kantpunkterna blir x = 0 och x = √3.

f '(x) = 3 - 3x²
Sätt derivatan = 0
3 - 3x² = 0
3 = 3x²
1 = x²
som har lösningarna
x₁ = 1
x₂ = -1

I första kvadranten ligger x = 1.

Beräkna arean för x = 0, x = 1 och x = √3

x = 0: Arean = 3·0 - 0³ = 0
x = 1: Arean = 3·1 - 1³ = 3 - 1 = 2
x = √3: Arean = 3·√3 - (√3)³ = 0

Största arean blir 2 för x = 1
svar x = 1
Tillbaka