hjälp till maxmin

Hjälp till Övningar på maxmin

fråga 1

Tips:
Derivatan f '(x) = 2x + 4.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

Sätt f '(x) = 0 ger 2x + 4 =0
som har lösningen x = -2.

Teckentabell
x-värde	x = -3	x = -2	x = 0
f '(x)	-2	0	4
f (x)	avtagande	minimum	växande

Tillbaka

fråga 2

Tips:
Eftersom kurvan är en '- x²' en 'sur-kurva' har den ett maximum.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

Derivatan f '(x) = 4 - 2x.
Sätt derivatan 4 - 2x = 0 vilket ger x = 2.

Teckentabell
x-värde	x = 0	x = 2	x = 3
f '(x)	4	0	-2
f (x)	växande	maximum	avtagande

Tillbaka

fråga 3

Tips:
Extrempunkt är en punkt där derivatan = 0.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

Derivatan f '(x) = 2x - 6.
Sätt derivatan 2x - 6 = 0 vilket ger x = 3.
Lägg till en rad i teckentabellen

Teckentabell
x-värde	x = 2	x = 3	x = 4
f '(x)	-2	0	2
f (x)	avtagande	minimum	växande
f (x)	-8	-9	-8

För x = 3 är funktionsvärdet -9.
Minimipunkten är (3,-9)

Tillbaka

fråga 4

Tips:
Med hjälp av derivatans tecken kan man se om funktionen är växande eller avtagande.

Är f '(x) positiv är f (x) växande och är f '(x) negativ är f (x) avtagande.

Tillbaka

fråga 5

Tips:
Bestäm derivatans nollställen.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

f '(x) = 3x² - 3
Sätt derivatan = 0.
3x² - 3 = 0
3(x² - 1) = 0
x² - 1 = 0
x² = 1
x = ±√1
x = -1
x = 1

Teckentabell med värden

x-värde	x = -2	x = -1	x = 0	x = 1	x = 2
f '(x)	+9	0	-3	0	+9
f (x)	väx.	max	avtag.	min	väx.
f (x)		2		-2

Max-punktens y-värde är 2.
Tillbaka

fråga 6

Tips:
Hur stor är höjden om basen är x?

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

Rektangelns höjd för basen x är punkten A:s y-koordinat. Höjden = 2 - 0.5x.

Arean = basen · höjden = x · (2 - 0.5x)
Area = f (x) = x(2 - 0.5x) = 2x - 0.5x²

Bestäm derivatans nollställe.
f '(x) = 2 - 0.5·2x
2 - x = 0
2 = x

För x = 2 finns en extrempunkt. Då kurvan är en "'-x²" är det en maximipunkt.

Maxvärdet blir
f (x) = 2x - 0.5x²
f (2) = 2·2 - 0.5·2² = 4 - 2 = 2 ae.
Tillbaka

fråga 7

Tips:
Sök derivatans nollställe.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

f '(x) = e^x - 1
Sätt derivatan = 0
e^x - 1 = 0
e^x = 1
Använd logaritmer
ln(e^x ) = ln(1)
x = ln(1) = 0

För x = 0 har funktionen en extrempunkt.

x-värde	x = -1	x = 0	x = 1
f '(x)	-0.632	0	1.718
f (x)	avtagande	min	växande
f (x)	1.368	1	1.718

Funktionens minsta värde är 1
Tillbaka

fråga 8

Tips:
Teckna arean från -x till x.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

Arean har basen 2x och höjden är kurvans y-värde för x. Höjden = 3 - x²
Arean A(x) = 2x·(3 - x²) = 6x - 2x³

Derivera areafunktionen.
A'(x) = 6 - 3·2x²

Sätt derivatan = 0
6 - 6x² = 0
6 = 6x²
6/6 = x²
x = ±√1 = ±1

Maximal area beräknas för x = 1
A = 6x - 2x³
A = 6·1 - 2·1³ = 6 - 2 = 4 ae
Tillbaka

fråga 9

Tips:
Hur stor blir basarean?

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

Höjden på asken är x cm.
Bredden på asken är 18 - 2x cm.
Askens volym blir
V(x) = x · (18 - 2x)² = x · (324 - 72x + 4x²) = 324x - 72x² + 4x³

Derivera.
V'(x) = 324 - 144x + 12x²

Sätt derivatan = 0
324 - 144x + 12x² = 0
Bryt ut 12.
12(27 - 12x + x²) = 0
Lös ekvationen
27 - 12x + x² = 0
x = 6 ± √6² - 27
x = 6 ± √9
x = 6 ± 3
x₁ = 3
x₂ = 9

Höjden = 3 cm
Bredden = djupet = 18 - 2·3 cm = 12 cm

Volymen = 3 · 12² cm³ = 432 cm³

Höjden 9 ger ingen bredd, så den lösningen ger ingen volym.
Tillbaka

fråga 10

Tips:
På toppen är derivatan = 0

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

y' = 4 - 5·2x
Derivatan = 0
4 - 10x = 0
4 = 10x
4/10 = x
x = 0.4

Då kurvan är av typ "-x²" har den ett maximum där derivatan är noll.

Maxvärdet
y = 4x - 5x² + 2
y(0.4) = 4·0.4 - 5·0.4² + 2 = 2.8
Tillbaka

fråga 11

Tips:
Derivatan = 0 på maxpunkten.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

Derivera.
f '(x) = 6x³ - 30x² + 36x
Sätt derivatan = 0
6x³ - 30x² + 36x = 0
Bryt ut 6x
6x (x² - 5x + 6) = 0
som ger
6x = 0
x² + 5x + 6 = 0

Lös andragradsekvationen
x = -2.5 ± √2.5² - 6
x = -2.5 ± 0.5

Lösningarna blir
x₁ = 0
x₂ = -3
x₃ = -2

teckentabell
x	x= -1	x= 0	x= 1	x= 2	x=2.5	x= 3	x= 4
f '(x)	-	0	+	0	-	0	+
f (x)	avtag	min	väx	max	avtag	min	väx
f (x)		0		16		13.5

Beräkna f (2)
Det lokala maxvärdet är 16
Tillbaka

fråga 12

Tips:
Triangelarean = basen · höjden / 2

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

Basen är sträckan mellan nollställena.
4x - x² = 0
x(4 - x) = 0
ger
x = 0
x = 4
Basen är 4 enheter lång.

Triangelhöjden = funktionsvärdet = 4x - x² som har maximum då derivatan = 0.
f '(x) = 4 - 2x = 0
4 = 2x
2 = x.
Höjden blir då
f(2) = 4·2 - 2² = 8 - 4 = 4.

Triangelns area
A = basen · höjden / 2
A = 4 · 4 / 2 = 8 ae.
Tillbaka

fråga 13

Tips:
Derivatan = 0 för x = 1

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

Derivatan = 0 blir
f '(x) = 3x² + a = 0
a = 0 - 3x²
Sätt in x = 1
a = 0 - 3·1²
a = -3

Bestäm med andraderivatan att punkten är en minimipunkt.
f ''(x) = 6x
f ''(1) = 6·1 = 6
Andraderivatan är positiv . Det är en minimipunkt.
Tillbaka

fråga 14

Tips:
Derivatan = 0 och andraderivatan = 0

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

y' = 3x² + a
och
y'' = 6x

Sätt in villkoren
3x² + a = 0
6x = 0

ger att x = 0 och a = 0
Tillbaka

fråga 15

Tips:
Derivatan = 0 på maxhöjden.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

h(x) = 4x - 4x²
h'(x) = 4 - 8x
Sätt derivatan = 0.
4 - 8x = 0
4 = 8x
0.5 = x

För x = 0.5 är derivatan noll. Kurvan är en '-x²' så den har ett maximum som uppnås för x = 0.5

h(x) = 4x - 4x²
Max = h(0.5) = 4·0.5 - 4·0.5² = 2 - 1 = 1

Maxhöjden är 1 m.
Tillbaka

fråga 16

Tips:
Derivera. Sätt derivatan = 0

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

y = x² − 4x + 8
y' = 2x - 4
Sätt derivatan = 0
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2

För x = 2 har funktionen en minimipunkt eftersom kurvan 'x²' är en 'gladkurva'.
Minimipunktens y-koordinat få man med funktionen.
y = x² − 4x + 8
y(2) = 2² - 4·2 + 8 = 4 - 8 + 8 = 4

Minimipunkten är (2, 4)
Tillbaka

fråga 17

Tips:
Derivatan = 0

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

f (x) =^x⁴/₄ + x³
f '(x) = x³ + 3x²

Bryt ut x².
x²(x + 3)

Sätt derivatan = 0
x²(x + 3) = 0
x₁ = 0
x₂ = 0
x₃ = -3

Funktionen är en 'x⁴-kurva' som har ett minsta värde där derivatan = 0. Beräkna funktionens värde för de olika nollställena.
x₁ = x₂ = 0:
f (0) = 0⁴/4 + 0³ = 0 + 0 = 0
x₃ = -3:
f (-3) = (-3)⁴/4 + (-3)³ = 81/4 - 27 = -6.75
Tillbaka

fråga 18

Tips:
Sätt radien = x och höjden h = 6.4 - x

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt

Med h = 6.4 - x och radien = x blir cylinderns volym
V = π·r²·h
V(x) = π·x²·(6.4 - x)
V(x) = 6.4·π·x² - π·x³

Derivera och sätt derivatan = 0
6.4·π·2x - π·3x² = 0

Bryt ut π·x
π·x(12.8 - 3x) = 0
som har lösningarna
π·x = 0
x = 0

12.8 - 3x = 0
12.8 = 3x
12.8/3 = x
x = 4.2667
Om radien x = 0 blir det ingen volym så max volym inträffar då x = 4.2667
Volymen blir
V(4.2667) = 122 cm³
Tillbaka