Formelsamling - Matematik

Formelsamling Matematik

Innehåll

Algebra
räknelagar
kvadreringsregler
andragradsekvation
kvadratrötter
potenslagar
logaritmlagar
10-logaritmer
naturliga logaritmer
Räta linjer
proportionalitet
räta linjer
Funktioner
andragradsfunktion
exponentialfunktion
potensfunktionen
Geometri
avstånd
areor
volymer
skala
vinklar

Geometriska satser
pythagoras sats
likformighet
topptriangelsats
bisektrissatsen
kordasatsen
randvinkelsats
Talföljder och serier
aritmetisk summa
geometrisk summa
Derivata
deriveringsregler
derivatans definition
tangentens ekvation
Integraler
primitiva funktioner
Diffekvationer
första ordningens
andra ordningens
Sannolikheter
Sannolikhetslära

Numeriska metoder
Newton-Raphson
trapetsformeln
Trigonometri
sinus,cosinus,tan
triangelsatserna
trigonometriska formler
Komplexa tal
polär form
räknelagar
Övrigt
prefix
Statistik
medelvärde
lådagram
spridningsmått
standardavvikelse
Diskret matematik
mängdlära
kongruensräkning
kombinatorik

Algebra

Räknelagar

a + b = b + a
a ·b = b · a
(a + b) + c = a + (b + c)
a ·(b · c) = (a · b) · c
a(b + c) = a · b + a · c

kommutativa lagen

associativa lagen

distributiva lagen

topp

Kvadreringsregler

(a + b)² = a² + 2 · a · b + b²
(a - b)² = a² - 2 · a · b + b²
(a + b)(a - b) = a² - b²

(a + b) ³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a - b) ³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³

a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)

första kvadreringsregeln
andra kvadreringsregeln
konjugatregeln

kuberingsregeln

topp

Andragradsekvationer
x² + px + q = 0 har lösningarna
x₁ = -p/2 - kvadratroten

x₂ = -p/2 + kvadratroten

där
q = x₁ · x₂
p = -(x₁ + x₂)
topp

Kvadratrötter
√a · √b = √a · b

√a / √b = √a / b

√a²b = |a|√b
där |a| = absolutbeloppet av a (positiva värdet av a)
topp

Potenslagar
a^b · a^c = a^{b + c}
a^b / a^c = a^{b - c}
(a^c · b^c ) = (a · b)^c
(a^c / b^c ) = (a / b)^c
(a^b )^c = a^{b · c}
a⁰ = 1
a^-b = 1 / a^b
a^1/n = ⁿ√a
topp

Logaritmlagar
log( a^b ) = b · log(a)
log(a) + log(b) = log(a · b)
log(a) - log(b) = log(a / b)

10-logaritmer
lg(10^x) = x
10^lg(x) = x

lg(10) = 1
lg(100) = lg(10²) = 2
10^lg(100) = 10² = 100

Naturliga logaritmer
ln(e^x) = x
e^ln(x) = x
topp

Räta linjer

Proportionalitet
y = k · x
y är proportionell mot x

y = k · x²
y är proportionell mot x²

y = k / x
y är omvänt proportionell mot x
topp

Räta linjer

k = (y₁ - y₂) / (x₁ - x₂)	riktningskoefficenten för en linje som går genom punkterna (x₁, y₁) och (x₂, y₂)
y = kx + m	räta linjens ekvation där k = riktningskoefficienten, m är skärning med y-axeln
y - y₁ = k(x - x₁)	räta linjens ekvation där k = riktningskoefficienten och (x₁, y₁) är en punkt på linjen.
k₁ · k₂ = -1	Om två räta linjer är vinkelräta mot varandra gäller att produkten av deras riktningskoefficienter = -1

topp

Funktioner

Andragradsfunktionen
y = Ax² + Bx + C
Ax² + Bx + C = 0

Sätt p = B/A och q = C/A
Ekvationen blir då
x² + px + q = 0
som har lösningarna
x₁ = -p/2 - kvadratroten

x₂ = -p/2 + kvadratroten

där
q = x₁ · x₂
p = -(x₁ + x₂)
topp

Exponentialfunktionen
y = C · a^x
har lösningen:
x = lg(y/C) / lg(a)

Specialfall
y = C · 2^t/T
där T är fördubblingstiden

y = C · 2^-t/T
där T = halveringstiden.

topp

Potensfunktionen
y = C · x^a
har lösningen:
x = ^a√(y/C)
topp

Geometri

Sträckor
Givet är två punkter (x₁, y₁) och (x₂, y₂)

Avståndet mellan punkterna = √(x₁ - x₂)² + (y₁ - y₂)²
Mittpunkten mellan punkterna = ( (x₁ + x₂)/2 , (y₁ + y₂)/2 )
topp

Areor

Triangel
area = b · h / 2
där b = basen, h = höjden.

bilder/parallellogram.GIF

Parallellogram
area = b · h
där b = basen, h =höjden.

bilder/parallelltrapets.GIF

Parallelltrapets
Area = h(a + b) / 2
där h = avståndet mellan de parallella sidorna, a, b är de båda parallella sidorna

bilder/cirkel.GIF

Cirkel
area = π · r²
omkrets = 2 · π · r = d · π
där r = radien, d = diamtern.

bilder/cirkelsektor.GIF

Cirkelsektor
bågen = a/360 · 2πr
area = a/360 · πr² = b · r / 2
där a = vinkeln, r = radien, b = bågens längd.

topp

Volymer

Prisma
volym = B · h
där B = bottenArea, h = höjden.

bilder/cylinder.GIF

Cylinder
volym = πr² · h
mantelarea = 2πrh
där r = radien, h = höjden.

bilder/pyramid.GIF

Pyramid
volym = B · h / 3
där B = bottenArean, h = höjden.

bilder/kon.GIF

Kon
volym = B · h / 3 = πr² · h / 3
mantelarea = πrs
där r = radien, h = höjden, s = längden av sidan på konen.

bilder/klot.GIF

Klot
volym = 4πr³ / 3
area = 4πr²
där r = radien.
topp

Skala

Längdskala

skala =   längd på bild   
        längd i verklighet

Skala skrivs på många sätt:
skala = bild : verklighet
skala = skalfaktor = 100 (100:1)
skala = 0,1 (1:10)
skala = 1/100 ( 1:100)

Areaskala
areaskala = (längdskala)²

Volymskala
volymskala = (längdskala)³
topp

Vinklar

Vinklarna u och z kallas sidovinklar. u + z = 180°
Vinklarna u och w är vertikalvinklar. u = w

De räta linjerna a och b är parallella. Då gäller

Vinklarna v och w kallas alternatvinklar. v = w.
Vinklarna u och v är likbelägna vinklar. u = v
topp

Geometriska satser

Pythagoras sats
a² + b² = c²

Om triangeln är rätvinklig gäller Pythagoras sats.

Om Pythagoras sats gäller är triangeln rätvinklig.
topp

Likformighet

Två trianglar är likformiga om deras vinklar är lika stora.
Då gäller
b/e = c/f = a/d

Topptriangelsatsen
Om DE är parallell med AB gäller:
DE / AB = CD / CA = CE / CB
och
CD / DA = CE / EB

Bisektrissatsen
Linjen BD är en bisektris som delar vinkeln B mitt itu.
Då gäller
x / y = a / c

Kordasatsen
Om två kordor i en cirkel skär varandra delas kordorna i delarna a och b respektive c och d.
Då gäller att
a · b = c · d

Randvinkelsatsen
Medelpunktsvinkeln M är dubbelt så stor som randvinkeln B.
M = 2 · B
Motstående vinklar i en fyrhörning som är inskriven i en cirkel är 180° tillsammans.
B + C = 180°

topp

Talföljder och serier

Aritmetisk talföljd
Summan av n termer i den aritmetiska talföljden
a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... , a + (n - 1) · d
beräknas med formeln

S = n(a₁ + a_n) / 2 = n(2a + (n - 1) · d) / 2
där d = differensen av två på varandra följande tal och n = antal tal.

Geometrisk summa
Summan av n termer i den geometriska talföljden
a, a · k, a · k², a · k³, a · k⁴, ... , a · k^n-1
beräknas med formeln

S = a · (kⁿ - 1) / ( k - 1)
där k ≠ 1 är kvoten av två på varandra följande tal och n = antal tal.
topp

Derivata och Integraler

Deriveringsregler

Funktion	Derivata
a·xⁿ	n·a·x^n-1
C·a^x	C·a^x·ln(a)
ln(a·x) (x > 0)	1/x
C·e^kx	C·k·e^kx
1/x	-1/x²
A·sin(kx)	A·k·cos(kx)
A·cos(kx)	-A·k·sin(kx)
A·tan(kx)	A·k(1+tan²(kx)) = A·k/(cos²(kx))
Kedjeregeln f (g(x)) Exempel: C · e^{f (x)} C · a^{f (x)} C · ln ( f (x) ) C · sin( f (x) )	f '(g(x)) · g'(x) C · e^{f (x)} · f '(x) C · a^{f (x)} · f '(x) · ln(a) C · 1 / f (x) · f '(x) C · cos( f (x) ) · f '(x)
Summa f (x) + g(x) Produkt f (x) · g(x) Kvot f(x) g(x)	f '(x) + g'(x) f '(x) · g(x) + f (x) · g'(x) f'(x)·g(x) - f(x)·g'(x) (g(x))²

topp

Derivatans definition
f '(x) = derivatadefinition

Tangentens ekvation
En kurva y(x) går genom punkten (x₁, y₁) och har lutningen y'(x₁) i punkten.
Tangentens ekvation blir
y = y'(x₁) · (x - x₁) + y₁
topp

Integraler och primitiva funktioner

_a ∫ ^b f(x) dx = [ F(x) ]_a^b = F(b) - F( a). ( där F'(x) = f(x) )

funktion f (x)	Primitiv Funktion F(x)
k (konstant) xⁿ sin(kx) cos(kx) x^-1 e^kx a^kx	kx + C xⁿ⁺¹ / (n+1) + C -cos(kx) / k + C sin(kx) / k + C ln \|x\| + C e^kx / k + C a^kx / (k · ln(a)) + C

topp

Differentialekvationer

första ordningen
y' + ay = 0
har lösningen y = A · e^-ax

y' + y · f(x) = 0
har lösningen y(x) = C · e^-F(x), där F'(x) = f(x)

y' + y · f(x) = g(x)
har lösningen y(x) = (G(x) + C) · e^-F(x), där F'(x) = f(x) och G'(x) = g(x) · e^F(x)
topp

andra ordningen
y'' + ay' + by = 0 med karakteristiska ekvationen h² + ah + b = 0
har lösningen
Med två olika reella rötter h₁ , h₂
y(x) = C₁ · e^h₁x + C₂ · e^h₂x

med två lika reella rötter h₁ = h₂ = h
y(x) = (C₁x + C₂) · e^hx

med två icke reella rötter m ± ik
y(x) = e^{m · x} (C₁ cos(kx) + C₂ sin(kx) ) där k = √-a²/4 + b
topp

Numeriska metoder

Ekvationslösning

Newton-Raphsons metod
x_n+1 = x_n - f(x_n) / f '(x_n)

Integraler

Rektangelformeln
_a ∫ ^b f(x) dx ≈ (b - a) / n · ( f(x₁) + f(x₂) + ... + f(x_n) )

Trapetsformeln
_a ∫ ^b f(x) dx ≈ h/2(f(a) + 2 f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b) )
topp

Trigonometri

Definitioner

sin(A) = a / b = (motstående katet / hypotenusan)

cos(A) = c / b = (närliggande katet / hypotenusan)

tan(A) = sin(A) / cos(A) = a / c = (motstående katet / närliggande katet)
topp

Triangelsatser
Sinussatsen
sin(A) / a = sin(B) / b = sin(C) / c

Cosinussatsen
a² = b² + c² - 2 a b cos(A)

Areasatsen
arean = a b sin(C) / 2
topp

Trigonometriska formler
sin²(A) + cos²(A) = 1

sin²(A/2) = ( 1 - cos(A) ) / 2

cos²(A/2) = ( 1 + cos(A) ) / 2

sin²(A) = ( 1 - cos(2A) ) / 2

cos²(A) = ( 1 + cos(2A) ) / 2

sin(A + B) = sin(A) · cos(B) + cos(A) · sin(B)

sin(A - B) = sin(A) · cos(B) - cos(A) · sin(B)

cos(A + B) = cos(A) · cos(B) - sin(A) · sin(B)

cos(A - B) = cos(A) · cos(B) + sin(A) · sin(B)

tan(A + B) = ( tan(A) + tan(B) ) / ( 1 - tan(A) · tan(B) )

tan(A - B) = ( tan(A) - tan(B) ) / ( 1 + tan(A) · tan(B) )

sin(2A) = 2 · sin(A) · cos(A)

cos(2A) = cos²(A) - sin²(A) = 2 · cos²(A) - 1 = 1 - 2 · sin²(A)

sin(3A) = 3 · sin(A) - 4 · sin³(A)

cos(3A) = 4 · cos³(A) - 3 · cos(A)

a · sin(A) + b · cos(A) =c · sin(A+v) där c = √a² + b² och tan(v) = b/a eller v = tan^-1(b/a)

sin(A) + sin(B) = 2 · sin((A+B)/2) · cos((A-B)/2)

sin(A) - sin(B) = 2 · cos((A+B)/2) · sin((A-B)/2)

cos(A) + cos(B) = 2 · cos((A+B)/2) · cos((A-B)/2)

cos(A) - cos(B) = -2 · sin((A+B)/2) · sin((A-B)/2)

2 · cos(A) · cos(B) = cos(A-B) + cos(A+B)

2 · sin(A) · sin(B) = cos(A-B) - cos(A+B)

2 · sin(A) · cos(B) = sin(A-B) + sin(A+B)

topp

Komplexa tal

i² = -1

Addition, subtraktion, multiplikation och division

De komplexa talet z = (a + bi) och w = (c + di)

z + w = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

z - w = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

z · w = (a + bi) · (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

z = (a + bi) = (a + bi)(c - di) = (ac + bd) + (bc - ad)i
w (c + di) (c + di)(c - di) c² + d²

argumentet
z = a + bi
φ = arg(z) = tan^-1(b/a)

absolutbeloppet
z = a + bi
|z| = √a² + b²

polär form
Det komplexa talet z = a + bi
kan skrivas
z = r · e^iφ = r · ( cos(φ) + i · sin(φ) ) där r = |z| = √a² + b² och tan(φ) = b/a
topp

räknelagar
z₁ · z₂ = r₁ · r₂ · e^{i(φ₁ + φ₂)} = r₁ · r₂ · (cos(φ₁ + φ₂) + i · sin(φ₁ + φ₂) )

z₁ / z₂ = r₁ / r₂ · e^{i(φ₁ - φ₂)} = r₁ / r₂ · (cos(φ₁ - φ₂) + i · sin(φ₁ - φ₂) )

zⁿ = rⁿ · e^{i · n · φ} = rⁿ · (cos(nφ) + i · sin(nφ) )

e^iy = cos(y) + i · sin(y)

e^z = e^x+iy = e^x · (cos(y) + i · sin(y)) = r · (cos(y) + i · sin(y)) där r = e^x

cos(y) = (e^iy + e^-iy ) / 2

sin(y) = (e^iy - e^-iy ) / 2i
topp

Prefix
Faktor	Benämning	Beteckning
10^-24	yokto	y
10^-21	zepto	z
10^-18	atto	a
10^-15	femto	f
10^-12	piko	p
10^-9	nano	n
10^-6	mikro	μ
10^-3	milli	m
10^-2	centi	c
10^-1	deci	d
10¹	deca	da
10²	hekto	h
10³	kilo	k
10⁶	mega	M
10⁹	giga	G
10¹²	tera	T
10¹⁵	peta	P
10¹⁸	exa	E
10²¹	zetta	Z
10²⁴	yotta	Y

topp

Statistik

Medelvärden

Medelvärde = summan av talen / antal tal. Skriv också μ = x = Σ x_i / n.

Median för udda antal värden = Det mittersta värdet då talen är sorterade efter storlek.

Median för jämt antal värden = Medelvärdet av de två mittersta värdena då talen är sorterade i storleksordning.

Typvärde = Det värde som har högst frekvens, dvs. finns flest av. Är högsta frekvensen samma för flera värden finns det flera typvärden.

Spridningsmått

Lådagram
bilder/ladagram.GIF

Om det statistiska materialet sorteras i storleksordning:

1:a kvartil = medianen för nedre halvan av värdena. 1:a kvartil kallas också nedre kvartil.

2:a kvartil = medianen.

3:e kvartil = medianen för övre halvan av värdena. 3:e kvartil kallas också övre kvartil.

Variationsbredd = skillnaden mellan största värdet och minsta värdet.

Kvartilavstånd = skillnaden mellan 3:e kvartil och 1:a kvartil.

Varians σ² = 1/_(n-1) · Σ (x_i - μ)²

Standardavvikelse σ = √1/(n-1) · Σ (x_i - μ)²
Standardavvikelse kan beskrivas som genomsnittliga kvadratiska avvikelsen från medelvärdet μ.
topp

Diskret matematik

Mängdlära

A och B är två mängder.

Ø = tomma mängden
U = alla element
kompliment

A = komplementet till A
a isin

A betyder att elementet a ingår i mängden A.
a notin

A betyder att elementet a inte ingår i mängden A.
A delmangd

B. A är en äkta delmängd av B. Betyder att alla element i mängden A finns i mängden B men det finns minst ett element x i B sådant att x bilder/notin.PNG

A.
A

B. Det betyder att alla element i mängden A finns i mängden B.
A union

B. Unionen av A och B. Det betyder mängden av alla element som finns i A eller B.
A snitt

B. Snittet av A och B. Det betyder mängden av alla element som finns i både A och B.
A \ B Mängden av alla element i A som inte finns i B.
|A| är en beteckning för antalet element i en mängd. |A| kallas kardinaltal och anger mängdens mäktighet.

{x₁, x₂, x₃, ... x_n} är en mängd med elementen x₁, x₂, x₃, ... x_n.
{x : x > b} betyder mängden av alla x sådana att x är större än b.

Mängdalgebra

Räkneregler
kompliment

(

A) = A
A

A = Ø
A

Ø = A
A

U = U
A

Ø = Ø
A

U = A

B ) =

B
A

C) = (A

C)
A

C) = (A

C)
A \ B = A snitt

B
A

B) = A
A

B) = A
|A union

B| = |A| + |B| - |A snitt

B|
topp

Kongruens

a och b är två heltal.
a modulo b = resten vid divisionen a / b.
Exempel: 22 modulo 4 = 2 ty 22 / 4 = 5 och resten = 2
( 22 = 5 · 4 + 2 )

Två heltal a och b sägs vara kongruenta modulo n om de har samma rest vid division med n.
a

b eller a

_n b
a

b (mod n)

a, b har samma rest vid division med n.
Exempel:
15 modulo 4 = 3
19 modulo 4 = 3
Så 15 kongruent

₄ 19.

Räkneregler för kongruenser
x, y, m, n, k är heltal.
Då gäller
(x modulo n) + (y modulo n) = (x + y) modulo n
(x modulo n) - (y modulo n) = (x - y) modulo n

(x modulo n) · (y modulo n) = (x · y) modulo n

(x modulo n)^m = (x^m) modulo n
topp

Kombinatorik

Antalet permutationer av n element:
n! = 1 · 2 · 3 ... · n
Antal delmängder eller kombinationer av k element utvalda från en mängd med n element:
nok

topp

Sannolikhetslära

A och B är två händelser.

A är komplimenthändelsen för A.

Sannolikheter för A och B.
P(A snitt

B) = 0 om A och B saknar gemensamma element.
P(A snitt

B) = P(A) · P(B) om A och B är oberoende händelser.
P(A union

B) = P(A) + P(B) - P(A snitt

B)
P(

A) = 1 - P(A)

Likformig sannolikhetsfördelning.
P(A) = antal utfall i A / totala antalet utfall.
topp