Olleh:s teorisamling - Algebra

Parentesregler

Ändra beräkningsordningen
Parenteser används för att ändra prioriteringsordningen mellan räkneoperationer.

Exempel
Tänk på ett tal (x). Addera 5 till talet. Multiplicera summan med 3.
Detta blir med matematik:
(x + 5) · 3
Eftersom summan ska multipliceras med 3 måste additionen beräknas före multiplikationen. Därför måste parentesen kring x + 5 sättas ut.

Distributiva lagen
a·(b + c) = a·b + a·c
(b + c)·a = b·a + c·a
(x + 5 ) · 3 = x·3 + 5·3 = 3x + 15
Då summan ska multipliceras med 3 måste både x och 5 multipliceras med 3.

Kommutativa lagen
a·b = b·a
5·4 = 4·5 = 20
a·(b + c ) = (b + c)·a
Det spelar ingen roll vilken ordning talen står i vid multiplikation. Produkten blir samma.

Minus framför parentes
-a·(b + c) = -a·b - a·c
-a·(b - c) = -a·b + a·c
-2·(3x + 4y) = -(2·3x + 2·4y) = -6x - 8y
-2·(3x - 4y) = -(2·3x - 2·4y) = -6x + 8y
Minustecken framför parentesen gör att tecknen i parentesen byts då parentesen tas bort. + → - och - → +

Exempel
I en låda ligger 15 skruvar och 25 muttrar. Man tar 3 skruvar och 4 muttrar ur lådan och lägger i en påse. Detta gör man 2 gånger.
Hur många skruvar och muttrar ligger nu i lådan?

Lösning
Om x = skruvar och y = muttrar och varje påse skrivs som en parentes så har man gjort:
15x + 25y - (3x + 4y) - (3x + 4y)
15x + 25y - 2·(3x + 4y)
Man har tagit bort 3 skruvar 2 gånger och tagit bort 4 muttrar 2 gånger så totalt har man tagit bort 6 skruvar och 8 muttrar.
15x + 25y - 2·(3x + 4y)
15x - 25y - (2·3x + 2·4y)
15x + 25y - (6x + 8y)
15x + 25y - 6x - 8y = 9x + 17y

Multiplicera ihop parenteser

c·(a + b) = c·a + c·b
(a + b)·(c + d) = a·c + a·d + b·c + b·d
(a + b)·(c + d + e) = a·c + a·d + a·e + b·c + b·d + b·e
Varje term i den första parentesen ska multipliceras med varje term i den andra parentesen.

(a + b)·(c + d - e) = a·c + a·d - a·e + b·c + b·d - b·e
Varje term multipliceras med tecken.

(a - b)·(c + d - e) = a·c + a·d - a·e - b·c - b·d + b·e
Negativt tal gånger negativt tal blir positivt tal. (-b)·(-e) → + b·e

Bryta ut

ab + ac = a(b + c)
a²bc - ab²c + abc² = abc(a - b + c)

Ett uttryck med flera termer kan ibland faktoriseras, dvs. skrivas som en produkt av flera faktorer.
Om samma tal eller variabel finns i alla termerna i ett uttryck kan detta brytas ut och skrivas utanför en parentes. En slags omvänd inmultiplicering i parentesen.

Exempel
5xy + 20x
Uttrycket innehåller x i båda termerna och 20 kan skrivas som 4·5
5x·y + 4·5x = 5x(y + 4)

Kvadreringsreglerna

Exempel
(2x + 3)² =
(2x + 3)(2x + 3) =
2x·2x + 2·2x·3 + 3·3 = 4x² + 12x + 9

(2x - 3)² =
(2x - 3)(2x - 3) =
2x·2x + 2·2x·(-3) + (-3)·(-3) = 4x² - 12x + 9

Konjugatregeln

(a + b)(a - b) =
a·a + a·(-b) + b·a + b·(-b) =
a² - b²

De båda termerna -ab och + ab tar ut varandra och kvar blir bara a² och -b²

Exempel
(2x + 3)(2x - 3) =
2x·2x + 2x·(-3) + 3·2x + 3·(-3) =
4x² - 6x + 6x - 9 =
4x² - 9
De båda blandtermerna -6x och +6x tar ut varandra.

Faktorisera

Vissa uttryck kan faktoriseras med konjugatregeln eller kvadreringsreglerna.

Konjugatregeln
a² - b² = (a + b)(a - b)
Ett uttryck bestående av två termer med minus emellan kan faktoriseras med konjugatregeln.
Så kan 4x² - 9 faktoriseras till (2x + 3)(2x - 3)
Första termen
4x² = 2x·2x
Andra termen
-9 = 3·(-3)
Som bekant kommer blandtermerna att ta ut varandra så kvar är bara de båda kvadraterna.

Exempel
Faktorisera 25x² - 36

25x² kan skrivas som 5x·5x
- 36 kan skrivas som 6·(-6)
Parenteserna måste då innehålla 5x och 6
(5x + 6)(5x - 6)

Första kvadreringsregeln
a² + 2ab + b² = (a + b)(a + b) = (a + b)²
Finns det tre termer och två av termerna ser ut som kvadrater ska man misstänka att det går att faktorisera med kvadreringsreglerna.

Exempel
Faktorisera 9x² + 12x + 4

Första termen 9x² kan skrivas som 3x·3x.
Tredje termen 4 kan skrivas som 2·2.
Mellersta termen 12x kan skrivas som 2·3x·2. (mellersta termen är 2·a·b)
Allt stämmer.
Kvadreringsregeln kan användas
9x² + 12x + 4 = (3x + 2)²

Andra kvadreringsregeln
a² - 2ab + b² = (a - b)(a - b) = (a - b)²
Är det tre termer och två av dem ser ut som kvadrater och det är minus framför den term som är kvar kan man misstänka andra kvadreringsregeln.

Exempel
Faktorisera 4x² - 16x + 16

Första termen 4x² kan skrivas som 2x·2x.
Tredje termen 16 kan skrivas som 4·4.
Andra termen -16x kan skrivas som - 2·2x·4 (blandtermen är - 2·a·b).
Allt stämmer.
Andra kvadreringsregeln går att använda.
4x² - 16x + 16 = (2x - 4)²

Exempel
Faktorisera 25x² + 10x + 4

Första termen 25x² kan skrivas 5x·5x.
Tredje termen 4 kan skrivas som 2·2.
Andra termen 10x kan skrivas som 5x·2 (mellersta termen är 2·a·b)
Men här stämmer det inte. Mellersta termen skulle varit 20x ( 2·5x·2) för att faktorisering ska vara möjlig.

25x² + 10x + 4 kan inte faktoriseras.

Faktorisera med pq-formeln

Man kan få fram faktorerna på ett andragradsuttryck genom att sätta uttrycket = 0 och lösa ekvationen. Faktorerna blir då
(x - ena roten)(x - andra roten).

Exempel
Faktorisera x² + 2x - 8.

Lös ekvationen x² + 2x - 8 = 0
Med pq-formeln får man lösningarna.
x = -1 ± √1² + 8
x = -1 ± √1 + 8
x = -1 ± √9
x = -1 ± 3
x₁ = -1 + 3 = 2
x₂ = -1 - 3 = -4

Faktorerna skulle då bli:
( x - 2))(x - (-4)) = (x - 2)(x + 4)

Pröva genom att multiplicera ihop:
(x - 2)(x + 4) = x² + 4x - 2x - 8 = x² + 2x - 8

Uttrycket x² + 2x - 8 kan skrivas som (x - 2)(x + 4).

Bilden visar grafen till f(x) = x² + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4). Man ser att funktionen har nollställena x = 2 och x = -4.