Vad en diffekvation är för något

En diffekvation eller differentialekvation är en ekvation som innehåller derivator av funktioner.
Till exempel:

Primitiva funktioner

Exempel:
Bestäm den funktion y som uppfyller villkoren
y' = 2x och y(3) = 2.

Lösning: y = x² + C (den primitiva funktionen)

y(3) = 2 ger
3² + C = 2
9 + C = 2
C = 2 - 9 = -7

Den sökta funktionen är:
y = x² - 7

Första ordningens diffekvation

Exempel
Bestäm den funktion y som är lösning till diffekvationen
y' + 2y = 0

Ansätt y = C·e^kx
Derivatan är y' = k·C·e^kx

Ekvationen blir då:
k·C·e^kx + 2·C·e^kx = 0
Bryt ut C·e^kx
C·e^kx (k + 2) = 0
som har lösningen
k + 2 = 0
k = -2

Lösningen på ekvationen är y = C·e^-2x

Första ordningens inhomogena diffekvation

Exempel:
Lös ekvationen
y' + 2y = 3x

Ansätt y_p som ett polynom av första graden eftersom högerledet är ett polynom av första graden.
y_p = ax + b
Då blir
y_p' = a

Ekvationen blir nu.
y_p' + 2y_p = 3x
a + 2·(ax + b) = 3x

Sätt x-termerna lika.
2ax = 3x
ger
2a = 3
a = 3/2 = 1.5

Sätt konstant-termerna lika.
a + 2b = 0 (högerledet har konstant-termen 0 som inte skrivs ut)
Sätt in värdet för a.
1.5 + 2b = 0
2b = -1.5
b = -1.5/2 = -0.75

Partikulärlösningen blir y_p = 1,5x - 0.75

Separabla diffekvationer

Lösning:
Skriv y' som dy/dx
y² · dy/dx = 2x
Skriv om.
y² · dy = 2x · dx

Lösningen blir
∫ y² · dy = ∫ 2x · dx

y³/3 = x² + A

Lös ut y.
y³ = 3(x² + A)
y = (3x² + 3A)^1/3 = (3x² + C)^1/3

Integrerande faktor

Lösning:
f(x) = 2x
En primitiv funktion till f(x) är
F(x) = x²
En integrerande faktor är e^x2
Multiplicera ekvationen med den integrerande faktorn
e^x2 (y' + 2x·y) = e^x2·0
Förenkla
e^x2·y' + 2x·e^x2·y = 0

Jämför vänsterledet med produktregeln för derivering av z·y
(z·y)' = z·y' + z'·y
så ser man att ekvationen kan skrivas
(e^x2·y)' = 0
dvs
e^x2·y = C
Lös ut y
y = C / e^x2 = C · e^-x2

Kontroll:
y = C · e^-x2
y' = C · e^-x2 · (-2x)
Ekvationen
y' + 2x·y = 0
C·e^-x2·(-2x) + 2x · C·e^-x2 = 0
Ekvationen stämmer.

Lösning:
f(x) = cos(x)
F(x) = sin(x)
Den integrerande faktorn är e^sin(x)

Multiplicera ekvationen med den integrerande faktorn
e^sin(x)·y' + e^sin(x)·cos(x) · y = e^sin(x) · cos(x)

Vänsterledet kan skrivas om:
(e^sin(x)·y)' = e^sin(x) · cos(x)
Högerledet är derivatan av e^sin(x)

Ekvationen blir
(e^sin(x)·y)' = (e^sin(x))'
eller
e^sin(x)·y = e^sin(x) + C

Lös ut y
y = 1 + C/e^sin(x) = 1 + C·e^-sin(x)

Kontroll:
y = 1 + C·e^-sin(x)
y' = 0 + C·e^-sin(x) · (-cos(x))

Ekvationen
y' + cos(x)·y = cos(x)
blir
0 + C·e^-sin(x)·(-cos(x)) + cos(x)·(1 + C·e^-sin(x)) = cos(x)
Förenkla vänsterledet
-cos(x)·C·e^-sin(x) + cos(x) + cos(x)·C·e^-sin(x) = cos(x)
Ekvationen stämmer.

Andra ordningens diffekvation

Lösning:
Sätt y = C·e^kx
y' = k·C·e^kx
y'' = k²·C·e^kx

Ekvationen blir
k²·C·e^kx + 5·k·C·e^kx + 6·C·e^kx = 0
bryt ut C·e^kx
C·e^kx (k² + 5k + 6) = 0

man har fått den karakteristiska ekvationen
k² + 5k + 6 = 0
som kan lösas med pq-formeln.

k = -2.5 ± √2.5² - 6
k = -2.5 ± √0.25

k₁ = -2.5 + 0.5 = -2
k₂ = -2.5 - 0.5 = -3

Båda värdena på k löser ekvationen. Lösningen blir du summan av de två lösningarna.

y = C·e^-2x + D·e^-3x

Lösning:
Den karakteristiska ekvationen blir
k² + 6k + 9 = 0
som kan lösas med pq-formeln.

k = -3 ± √3² -9
k = -3 ± √9 -9

k₁ = -3 + 0 = -3
k₂ = -3 − 0 = -3

De båda lösningarna till den karakteristiska ekvationen är lika. Man får bara 1 lösning.
Antag att u är en funktion och att y = e^-3x · u är en annan lösning till diffekvationen.
Då blir med produktregeln
y' = -3·e^-3x · u + e^-3x · u' = e^-3x(-3u + u' )
y'' = -3·e^-3x · (-3u + u' ) + e^-3x · (-3u' + u'' ) = e^-3x (9u - 6u' + u'' )

Ekvationen blir efter utbrytning av e^-3x
y'' + 6y' + 9y = 0
(9u - 6u' + u'' ) + 6(-3u + u' ) + 9u = 0
som efter förenkling blir
u'' = 0
Bestäm nu u:
u'' = 0
u' = C
u = Cx + D

Lösningen till diffekvationen blir nu
y = e^-3x · (Cx + D)

Lösning
Den karakteristiska ekvationen blir
k² + 6k + 13 = 0
som kan lösas med pq-formeln.
k = -3 ± √3² - 13
k = -3 ± √ -4

Ekvationen har två icke-reella rötter
k₁ = -3 + i·2
k₂ = -3 − i·2

En lösning är
y = A·e^{(-3 + i·2)x} + B·e^{(-3 - i·2)x}
som kan skrivas
y = A·e^-3x· e^i·2x + B·e^-3x· e^-i·2x
y = e^-3x(A· e^i·2x + B· e^-i·2x)

Då
e^i·2x = cos(2x) + i·sin(2x)
e^-i·2x = cos(2x) - i·sin(2x)
kan funktionen
y = e^-3x(A· e^i·2x + B· e^-i·2x) skrivas
y = e^-3x(A· (cos(2x) + i·sin(2x) ) + B· (cos(2x) - i·sin(2x)) )
eller
y = e^-3x( (A + B)·cos(2x) + i·(A - B)·sin(2x) )

Sätt
C = A + B
D = i·(A - B)
ger lösningen

y = e^-3x( C·cos(2x) + D·sin(2x) )

Regel:
Om den karakteristiska ekvationen har:
Två olika reella lösningar k₁ och k₂ → y = C·e^k₁x + D·e^k₂x
Två lika reella lösningar k → y = e^kx ( Cx + D )
Två komplexa lösningar (a + bi) och (a - bi) → y = e^ax( C·cos(bx) + D·sin(bx) )

Andra ordningens inhomogena diffekvation

Lösning:
Den karakteristiska ekvationen
k² + 5k + 6 = 0
har lösningarna
k₁ = -2
k₂ = -3

Den allmänna lösningen
y = C·e^-2x + D·e^-3x

Partikulärlösningen får man genom att sätta y_p till en funktion av samma typ som högerledet. Här blir y_p ett polynom av grad 1.
y_p = ax + b.
y_p' = a
y_p'' = 0
Ekvationen blir
y'' + 5y'+ 6y = 2x + 3
0 + 5a + 6(ax + b) = 2x + 3

Para ihop termer av samma gradtal:
0 + 5a + 6b = 3
6ax = 2x

Detta ger
6a = 2
a = 2/6 = 1/3

5a + 6b = 3
5·1/3 + 6b = 3
6b = 3 - 5/3
b = 4/3 / 6
b = 4/18 = 2/9

Partikulärlösningen blir

y_p = 1/3·x + 2/9

Lösningen y + y_p blir
y = C·e^-2x + D·e^-3x + 1/3·x + 2/9

Lösning:
Den karakteristiska ekvationen
k² + 5k + 6 = 0
har lösningarna
k₁ = -2
k₂ = -3

Den allmänna lösningen blir
y = C·e^-2x + D·e^-3x

Partikulärlösningen får man genom att sätta y_p till en funktion av samma typ som högerledet. Här blir y_p ett uttryck med sin(5x) och cos(5x).
y_p = a·sin(5x) + b·cos(5x).
y_p' = 5a·cos(5x) - 5b·sin(5x)
y_p'' = -25a·sin(5x) - 25b·cos(5x)
Ekvationen blir
y'' + 5y' + 6y = 3·sin(5x)
-25a·sin(5x) - 25b·cos(5x) + 5(5a·cos(5x) - 5b·sin(5x)) + 6(a·sin(5x) + b·cos(5x)) = 3·sin(5x)

Förenkla och para ihop termerna med sin(5x) för sig och cos(5x) för sig:
sin(5x)·(-25a - 25b + 6a) = 3·sin(5x)
cos(5x)·(-25b + 25a + 6b) = 0

-25a - 25b + 6a = 3
-25b + 25a + 6b = 0

-19a - 25b = 3 (1)
-19b + 25a = 0 (2)

Ekvation (2) ger
a = 19b/25
Som ger ekvation (1) med a insatt
-19·19b/25 - 25b = 3
b = -25/88
a = -19/88

Partikulärlösningen y_p blir
y_p = -19/88·sin(5x) - 25/88·cos(5x)

Lösningen y + y_p blir
y = C·e^-2x + D·e^-3x - 19/88·sin(5x) - 25/88·cos(5x)

Diffekvation med begynnelsevillkor

Lösning:
Bestäm den homogena lösningen till
y' + 2y = 0
Enligt ovan är den homogena lösningen.
y = C·e^-2x

Bestäm den inhomogena lösningen. Sätt y_p till ett polynom av samma typ som högerledet.
Sätt y_p = a
y_p' = 0
Ekvationen
y' + 2y = 3
blir nu
0 + 2·a = 3
vilket ger
2a = 3
a = 3/2 = 1.5

Den inhomogena lösningen blir
y_p = 1.5

Lösningen är
y + y_p = C·e^-2x + 1.5

Bestäm C
Sätt in x-värdet i lösningen för att bestämma C.
y(0) = 5
C·e^-2x + 1.5 = 5
C·e^-2·0 + 1.5 = 5
C·1 + 1.5 = 5
C = 3.5

Lösningen på ekvationen med begynnelsevillkoret y(0) = 5 är
y = 3.5 e^-2x + 1.5