| home |
En stillastående observatör tittar på en partikel som rör sig med stor hastighet. Tiden hos partikeln verkar gå långsammare, säger observatören.
to = tiden för en händelse då partikeln står still.
t = tiden för händelsen hos partikeln då partikeln rör sig mätt av en stillastående observatör.
t = to / √(1-v²/c²)
En partikel rör sig med 90% av ljushastigheten. En observatör studerar en händelse hos partikeln som tar 10 sekunder mätt med en klocka hos partikeln. För observatören blir tiden för händelsen hos partikeln mätt med en klocka hos observatören
t = 10 s / √(1 - 0.9²) = 22.9 sekunder.
Händelsen har tagit längre tid enligt observatörens klocka. Det verkar som om tiden går långsammare för partikeln, sekunderna blir längre hos partikeln enligt den stillastående observatören.
En partikel som rör sig med hög hastighet tycks förkortas i hastighetens riktning.
L = Lo · √(1 - v²/c²)
L = den längd som en stillastående observatör ser hos partikeln i rörelse.
Lo = partikelns längd i vila.
En partikel som rör sig med stor hastighet och påverkas av en accelererande kraft uppvisar större och större motstånd mot ökad hastighet. Massan blir trögare. I sambandet F = m·a kommer massan m att bli större ju högre hastighet partikeln har. Massan, den relativistiska massan blir
m = mo/√(1 - v²/c²)
m = massan vid hastigheten v, mo = massan i vila
Enligt Einsteins speciella relativitetsteori finns ett samband mellan massa och energi.
E = mc²
En partikel med med massan m har en total energi
Etotal = mc².
m = massan vid hastigheten v.
Men massan beror på hastigheten. Ju större hastigheten är, desto större blir masssan.
Etotal = mo/√(1 - v²/c²) · c²
mo = massan då partikeln är i vila.
Energin vid vila
Evila = moc²
Rörelseenergin är skillnaden mellan en partikels totala energi och dess viloenergi.
Ek = Etotal - Evila
Ek = moc²/√(1 - v²/c²) - moc²
Rörelseenergi kan en ladddad partikel få genom att accelereras av en spänning U.
Ek = Q·U
Q·U = moc²/√(1 - v²/c²) - moc²
Ur detta samband kan partikelns hastighet tas fram. Efter lite algebra blir hastigheten
v = c · √1 - (moc² / (Q·U + moc²) )²
där moc²/(Q·U + moc²) = Evila / Etotal
En partikels rörelsemängd p = m·v.
där m = partikelns massa vid hastigheten v. För stora hastigheter ökar massan m och rörelsemängden blir
p = mo·v / √(1 - v²/c²)
Sambandet mellan rörelsemängd och energi
p = mo·v / √(1 - v²/c²)
Etotal = moc²/√(1 - v²/c²)
Dividera dessa uttryck med varandra ger
p / Etotal = v / c²
dvs
p = Etotal·v / c²
Fotonens rörelsemängd
För fotoner är energin E = h·f och fotonens hastighet v = c som ger rörelsemängden
p = h·f·c/c²
Men då f = c/λ får vi
p = h·c/λ·c/c² = h / λ
Denna formel stämmer med det tidigare erhållna sambandet för fotonens rörelsemängd
| home |