olleh Teori - Trigonometri

Olleh:s teorisamling - Trigonometri

Innehåll
Sinus och Cosinus Enhetscirkeln Triangelsatser Ekvationer	Additionsformler Kurvor A sin(x) + B cos(x) radianer

Sinus, Cosinus och Tangens

I en rätvinklig triangel finns två kateter, katet 1 och katet 2, och hypotenusan.

Sinus för vinkel A bestäms av kvoten mellan sidan mitt emot vinkel A och hypotenusan
sin(A) = motstående katet / hypotenusan = katet 2 / hypotenusan

Cosinus för vinkel A bestäms av kvoten mellan den närliggande kateten och hypotenusan.
cos(A) = närliggande katet / hypotenusan = katet 1 / hypotenusan

Tangens för vinkel A bestäms av kvoten mellan den motstående kateten och den närliggande kateten
tan(A) = motstående katet / närliggande katet = katet 2 / katet 1

Man kan med definitionerna för sinus och cosinus se att man kan få fram tangens genom att dividera sinus med cosinus:

tan(A) = sin(A) =  motstående katet /  hypotenusan  =   motstående katet
         cos(A)    närliggande katet / hypotenusan     närliggande katet

upp

Enhetscirkeln

I en cirkel med radien 1 kan en rätvinklig triangel ritas där hypotenusan = 1 enhet.
Om vinkeln vid origo är A kommer de båda kateterna att bli sin(A) respektive cos(A). Detta kommer från sambandet
sin(A) = motstående katet / hypotenusan = motstående katet / 1 = motstående katet
och
cos(A) = närliggande katet / hypotenusan = närliggande katet / 1 = närliggande katet.

Punkt C på triangeln ligger på enhetscirkeln och har koordinaterna ( cos(A), sin(A) ).
I figuren ser man att även vinkeln (180° - A) har samma y-koordinat som vinkeln A.
Man ser också att x-koordinaten för punkten D är -cos(A)

sin(180°- A) = sin (A)
cos(180° - A) = -cos(A)
upp

Triangelsatserna

Areasatsen

Arean av triangeln är
A = basen · höjden / 2
Här kan man räkna ut höjden eftersom
sin(A) = sin(180° - A) = motstående katet / hypotenusan = höjden / b
som ger
Höjden = b · sin(A).

Arean blir då area = basen · höjden / 2

area = c · b·sin(A) / 2

Detta samband kallas areasatsen.
upp

Sinussatsen

Arean på en triangel kan beräknas på olika sätt med areasatsen:

area = a · b · sin(C) / 2 = b · c · sin(A) / 2 = c · a · sin(B) / 2

Dividera alla uttryck med a·b·c och multiplicera med 2

sin(C) / c = sin(B) / b = sin(A) / a

som även kan skrivas

c / sin(C) = b / sin (B) = a / sin(A)

Detta kallas sinussatsen.
upp

Cosinussatsen

a² = b² + c² - 2 · b · c · cos(A)

Detta uttryck kallas cosinussatsen.

Bevis
bilder/cosinussatsen.GIF

Beräkna höjden h med Pythagoras sats.
I den gula triangeln:
h² = b² - p²

I den blå triangeln:
h² = a² - (c - p)²

Sätt uttrycken för h² lika.
b² - p² = a² - (c - p)²

Förenkla.
b² - p² = a² - (c² + p² - 2 · c · p)
b² - p² = a² - c² - p² + 2 · c · p
b² = a² - c² + 2 · c · p

I gula triangel ser man att cosA = p/b som ger
p = b · cosA.
b² = a² - c² + 2 · c · p
b² = a² - c² + 2 · c · b · cosA

Lös ut a²
b² + c² - 2 · c · b · cosA = a²

a² = b² + c² - 2 · b · c · cosA

a² = b² + c² - 2 · b · c · cosA
Man kan säga att cosinussatsen är en generalisering av Pythagoras sats för trianglar som inte är rätvinkliga.
upp

Ekvationer

Lös ekvationen sin(x) = 0.5

Av figuren ser man att det finns två värden på x som ger samma y-värde dvs 0.5
sin(x) = 0.5
sin(180°-x) = 0.5

Lösningarna blir då:
x = sin^-1(0.5)
180° - x = sin^-1(0.5)

x = 30°
x = 180° - 30° = 150°

Det går naturligtvis att komma till läget i figuren genom att vrida en vinkel som är ett helt antal hela varv + vinkeln x.
Lösningarna blir då:
x = 30° + n·360°
x = 150° + n·360°
där n är ett heltal: 0, ±1, ±2 , ...

bilder/cosinus-05.GIF

Lös ekvationen cos(x) = 0.5

Av figuren ser man att det finns två vinklar som ger värdet 0.5:
cos(x) = 0.5
cos(-x) = 0.5.

Men då cos(-x) = cos(x) blir lösningarna till ekvationen

cos(x) = 0.5
cos(-x) = 0.5

x = cos^-1(0.5)
-x = cos^-1(0.5)

x = 60°
x = -60°

Det går naturligtvis att komma till läget i figuren genom att vrida en vinkel som är ett helt antal hela varv + vinkeln x.
Lösningarna blir då:
x = 60° + n·360°
x = -60° + n·360°
där n är ett heltal: 0, ±1, ±2 , ...

upp

A sin(x) + B cos(x)

Om man låter en visare med längden A rotera motsols beskriver y-koordinaten för dess spets en kurva
y = A sin(x)
där x är vridningsvinkeln.

Låter man på motsvarande sätt en visare med längden B rotera motsols beskriver x-koordinaten för dess spets en kurva
f(x) = B cos(x)
där x är vridningsvinkeln.

Man kan med summaformlerna för vinklar visa att sin(x + 90°) = cos(x).

sin(a + b) = sin(a)·cos(b) + cos(a)·sin(b)
sin(x + 90°) = sin(x)·cos(90°) + cos(x)·sin(90°)
sin(x + 90°) = sin(x) · 0 + cos(x) · 1
sin(x + 90°) = cos(x)

Men sätter man B cos(x) = B sin(x + 90°) kommer y-koordinaten för B sin(x + 90°) = x-koordinaten för B cos(x)
bilder/enhetscirkel-cos.GIF

A sin(x) + B cos(x) blir nu summan av y-koordinaterna för A sin(x) och B sin(x+90°) vilket motsvarar y-koordinaten för vektorsumman av A sin(x) + B cos(x) (diagonalen i figuren)
bilder/sinxpluscosx.GIF

Längden på diagonalen får man fram med Pythagoras sats:

längd = √A² + B²
och vinkeln φ får man fram med
tan(φ) = B / A

A sin(x) + B cos(x) = √A² + B² sin(x + φ)
upp

Radianer

Vinklar mäts i grader. Ett helt varv är 360°. Ett halvt varv är 180°.
Man kan också mäta vinklar genom att ange hur långt man gått på enhetscirkeln.

Ett helt varv blir då omkretsen på hela enhetscirkeln = 2·π·1 då radien r = 1.
Ett halvt varv blir 2·π·1 / 2 = π.
Ett kvarts varv = 2·π·1 / 4 = π/2
osv.

Sålunda
360° = 2π
180° = π
90° = π/2
osv.

upp

Additionsformler

sin(A+B) = sin(A) · cos(B) + cos(A) · sin(B)
sin(A−B) = sin(A) · cos(B) - cos(A) · sin(B)

cos(A+B) = cos(A) · cos(B) - sin(A) · sin(B)
cos(A−B) = cos(A) · cos(B) + sin(A) · sin(B)

Bevis
bilder/cosA-B.GIF

cos(A−B) = cos(A) · cos(B) + sin(A) · sin(B)

Beräkna längden av den blå sträckan a.

Med Pythagoras sats:
a² = u² + v²
Ur figuren får man att
u = cosA - cosB
v = sinA - sinB

Pythagoras sats blir
a² = (cosA - cosB)² + (sinA - sinB)²

Utveckla
a² = cos²A + cos²B - 2·cosA·cosB + sin²A + sin²B - 2·sinA·sinB

Beräkna med cosinussatsen
a² = b² + c² - 2·b·c·cos(A-B)
a² = 1² + 1² - 2·1·1·cos(A-B)
a² = 2 - 2·cos(A-B)

Sätt uttrycken för a² lika
cos²A + cos²B - 2·cosA·cosB + sin²A + sin²B - 2·sinA·sinB = 2 - 2·cos(A-B)

Använd att cos²A + sin²A = 1
1 + 1 - 2·cosA·cosB - 2·sinA·sinB = 2 - 2·cos(A-B)

Subtrahera 2 från båda leden
- 2·cosA·cosB - 2·sinA·sinB = -2·cos(A-B)

Dividera med -2 två i båda leden
cosA·cosB - sinA·sinB = cos(A-B)

Vi har visat att
cos(A−B) = cos(A) · cos(B) + sin(A) · sin(B)
upp

Kurvor

Låter man en punkt förflytta sig på enhetscirkeln i positiv riktning (motsols) och ritar dess y-koordinat som funktion av vinkeln får man en trigonometrisk kurva, en sinuskurva.
bilder/enhetscirkel-kurvor.GIF

På bilden är vinkeln angiven i radianer. Ett halvt varv, 180°, motsvarar π radianer.

På motsvarande sätt kan man få en cosinuskurva om man ritar punktens x-koordinat som funktion av vinkeln.
bilder/enhetscirkel-kurvor-cos.GIF

Bilden visar en sinuskurva y = sin(x) och en cosinuskurva y = cos(x).
bilder/sinus-kurva.GIF

Variabeln x är i grader. Kurvan gör en hel period på 360°, dvs efter 360° ser kurvan likadan ut igen. Trigonometriska kurvor är periodiska. De upprepar sig efter ett visst antal grader.

Kurvan y = A sin(x) får man genom att multiplicera kurvan y = sin(x) med A. Alla värden på denna kurva kommer att bli A gånger större. Kurvans amplitud dvs. maxutslag från medel blir A.

bilder/sinus-kurva2.GIF

Argumentet (talet inom parentesen) kan också multipliceras med tal. En hel period för en kurva bildas då argumentet genomlöper 360°. Den röda kurvan
y = cos(2x)
har perioden 180° för efter 180° har 2x blivit 2·180° = 360° och kurvan börjar upprepa sig.
Den blå kurvan y = 1.5 sin(x) har amplituden 1.5 enheter.

Kurvan kan också flyttas i höjdled. y = sin(x) + 2 har flyttats 2 enheter uppåt.
bilder/sinusx+2.GIF

Kurvan y = sin(x + 50°) har flyttats 50° åt vänster.
bilder/sinusx+50.GIF

Tittar man på den punkt där kurvan 'börjar' dvs passerar x-axeln på väg uppåt sker detta vid -50° (se pilen i figuren). Argumentet för kurvan y = sin(x + 50°) är där noll. (x + 50°) blir noll då x = -50°.

Bilden nedan visar andra kurvor som förändrats på något sätt.
../underkatalog/bilder/sinuskurvor2.GIF

a) Kurvan är y = 2 · cos(x). Kurvan har amplituden 2 enheter.
b) Kurvan är y = - sin(x) + 2. Kurvan har multiplicerats med -1 och flyttats upp 2 enheter. Amplituden är dock fortfarande 1.
c) Kurvan är y = - cos(x). Kurvan är multiplicerad med -1 så den får ett utseende som är upp och ned jämfört med y = cos(x).
d) Kurvan är y = sin(2x). Kurvans argument har multiplicerats med 2. Perioden blir då 180°.
upp

home