Hjälp till Övningar på centralrörelse
fråga 1
Tips:
Centralrörelse:
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Fc = m · v2 / r.
där v = omkretsen / tiden ger v = 2 · π · r / T
Fc = m · 4 π2 · r / T2
Med insatta värden.
F = 0.045kg · 4π² · 2.0m / (4.2s)²
F = 0.20142 N
Tillbaka
fråga 2
Tips:
Lös ut v ur formeln Fc = m · v2 / r
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Fc = m · v2 / r
ger
v = √Fc · r / m
Med insatta värden.
v = √1.0N · 2.0m / 0.045kg = 6.666 m/s
Tillbaka
fråga 3
Tips:
Fc = m · v2 / r
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Fc = m · v2 / r
Fc = 0.050kg · (5.0m/s)² / 2.0m = 0.625 N
Om r halveras blir kraften dubbelt så stor.
Hastigheten = omkretsen / omloppstiden.
v = 2 · π · r / T
Lös ut T
T = 2 · π · r / v = 2π · 2.0m / 5.0m/s
T = 2.51327 s
Om radien halveras måste T halveras för att ge samma hastighet v.
T/2 = 1.256637 s
Tillbaka
fråga 4
Tips:
En del av tyngden ger centralrörelse.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Krafterna som verkar på bilen är tyngden och normalkraften från vägbanan.
En del av tyngden är den kraft som får bilen att gå i cirkelbanan. Fc = mv² / r.
Med insatta värden blir Fc = 1500kg · (25m/s)² / 200m = 4687.5 N
Bilens tyngd mg = 1500kg · 9,82N/kg = 14730 N.
Skillnaden mellan dessa krafter är normalkraften.
FN = mg - Fc = 14730N - 4687.5N = 10042.5N ≈ 10000 N.
Tillbaka
fråga 5
Tips:
Då utslagsvinkeln är 45° är tyngden lika stor som centripetalkraften.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Fc = m · v2 / r = m · g.
Massan m kan elimineras vilket ger
v2 / r = g
Banradien r = l · sin(45°)
Tillsammans ger detta:
v2 = r · g = l · sin(45°) · g
Lös ut v.
v = √ l · sin(45°) · g
Med insatta värden.
v = √1.00m · sin(45°) · 9.82m/s² = 2.6351 m/s
Centripetalkraften är resultanten till snörspänningen och tyngden.
Tillbaka
fråga 6
Tips:
I översta läget är centrifugalkraften lika stor som tyngdkraften.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
m · ac = m · g dvs.
Efter eliminering av m och insättning av ac = v²/r:
v2 / r = g vilket ger
v = √ r · g
Med insatta värden.
v = √6.0m · 9.82m/s² = 7.6759 m/s
Tillbaka
fråga 7
Tips:
Energiprincipen:
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Gymnastens lägesenergi i övre läget omvandlas till rörelseenergi som blir maximal i nedre läget. Gymnastens rörelse i cirkelbanan kräver en centripetalkraft från stången plus en motkraft för tyngden.
Ftot = m · v2 / r + m · g .
v2 fås ur energiprincipen
m · v2/2 = m · g · h = m · g (r + r).
Dividera bort m
v2/2 = g · 2r
v² = g · 4r
Centripetalkraften blir nu
m · v2 / r = m · 4 · g
Ftot = m·4g + m·g = m· 5g
Med insatta värden.
Ftot = 75kg · 5 · 9.82m/s² = 3682.5 N
Tillbaka
fråga 8
Tips:
a) Periferihastigheten = omkretsen / omloppstiden.
b) Centripetalaccelerationen ac = v2/ r.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Periferihastigheten = omkretsen / omloppstiden ger
Periferihastigheten = 2 · π · r / 27.3 dygn.
Periferihastigheten = 2 · π · 3.844·108m / (27.3 · 24 · 60 ·60 s)
Periferihastigheten = 1023.969 m/s
ac = v² / r ger
ac = (1023.969 m/s)² / 3,844·108m = 0.0027277 m/s²
Tillbaka
fråga 9
Tips:
Gravitationskraften är Centripetalkraft.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Centripetalkraften Fc = mv2/r = m4π² r / T2
Sätt Fc = gravitationskraften.
m4π² r / T2 = G · M · m / r2
Eliminera m:
4π2r / T2 = GM / r2
Lös ut r:
r3 = GMT2 / 4π2
r = (GMT2 / 4π2)1/3
Med insatta värden.
r = (6.67·10-11 · 5.97·1024·(24·60·60)² / (4π²))1/3
r = 42 226 910.176 m
r = 42 226 km
Tillbaka
fråga 10
Tips:
Satelliten tvingas utföra en cirkelbana. Kraften måste vara riktad så att satelliten ändrar sin hastighet i banan kring jorden. Satelliten utsätts för gravitationskrafter från jorden.
Tillbaka
fråga 11
Tips:
Gravitationslagen.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Gravitationskraften ges av
Fg = G · M · m / r2 där G = 6.673 · 10-11(Nm2/kg2) och Jorden massa M = 5.974 · 1024 kg.
Med insatta värden.
F = 6.673·10-11Nm²/kg² · 5.974·1024kg · 110000kg / (6700 000m)²
F = 976 853 N
Tillbaka
fråga 12
Tips:
Stenen har hastighet rakt åt höger i sitt utgångsläge och börjar falla till marken.
Tillbaka
fråga 13
Tips:
Kraften i snöret är summan av tyngd och centripetalkraft.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
I översta läget räcker tyngden till för att utföra cirkelrörelsen så det behövs ingen extra kraft från snöret.
Accelerationen ges av formeln
ac = v² / r som i detta fallet är tyngdaccelerationen g.
ac = 9.82 m/s² riktad nedåt.
Tillbaka
fråga 14
Tips:
Centripetalkraften
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Centripetalkraften ges av
Fc = m v2 / r = m · 4π2 · r / T2.
Lös ut T:
T2 = m · 4π2 · r / Fc
T = √m · 4π² · r / Fc
Med insatta värden.
T = √0.408kg · 4π² · 0.15m / 2.45N
T = 0.99305 s
Tillbaka
fråga 15
Tips:
Fc = mv²/r
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Centripetalkraften ges av formeln
Fc = m · ac = m · v2 / r
Lös ut ac (dividera med m.)
ac = v2 / r.
Med insatta värden.
ac = (1.54m/s)² / 0.173m
ac = 13.7087 m/s²
Tillbaka
fråga 16
Tips:
Fc = mv²/r
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Centripetalkraften
Fc = m · v² / r = m · 4 · π² · r / T²
Med insatta värden.
Fc = 4.3kg · 4 π² · 1.2m / (2.3s)²
Fc = 38.50825 N
Tillbaka
fråga 17
Tips:
ac = 4π²r / T²
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
ac = 4π²r / T²
Med insatta värden
ac = 4π² · 1.2m / (3.2s)² = 4.626 m/s²
b) De krafter som verkar på kulan är tyngden, och snörspänningen. En horisontell komposant av snörspänningen utgörs av centripetalkraften Fc. Den andra komposanten motverkar tyngden. Vinkeln mot lodlinjen ges av
tan α = Fc / tyngden = m·ac / mg
Förkorta bort massan m
tan α = ac / g = 4.626m/s² / 9.82m/s²
α = 25.226°
Tillbaka
fråga 18
Tips:
Centripetalkraften kommer från gravitationen.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Fc = m 4 π² r / T²
FG = G M m / r²
Sätt krafterna lika.
m 4 π² r / T² = G M m / r²
dividera bort farkostens massa m
4 π² r / T² = G M / r²
Lös ut r.
r³ = G M T² / (4 π²)
Sätt in värden och beräkna r³
r³ = 6.673·10-11Nm²/kg² · 5.9736·1024kg ·(1.5·60·60s)² / (4π²)
r³ = 2.94432·1020 m³
r = 6652655 m
Då jordradien är 6378 km blir höjden över jordytan
6652655 m - 6378000 m = 274655 m = 274.7 km
Tillbaka