Hjälp till Övningar på Mer diffekvationer
fråga 1
Tips:
Byt y'' mot k², y' mot k
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
y'' + 3y' + 6y = 0
Med y'' ersatt av k², y' ersatt av k och y tas bort, blir karakteristiska ekvationen
k² + 3k + 6 = 0
Tillbaka
fråga 2
Tips:
Byt y'' mot k², y' mot k
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
y'' - 3y' = x
För den karakteristiska ekvationen ska högerledet vara 0.
y'' - 3y' = 0
Byt y'' mot k² och y' mot k
k² - 3k = 0
Tillbaka
fråga 3
Tips:
Byt y'' mot k² och y mot 1
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
2y'' - y = 0
2k² - 1 = 0
Dividera med 2 överallt.
k² - 1/2 = 0/2
k² - 1/2 = 0
Tillbaka
fråga 4
Tips:
Den karakteristiska ekvationen är
k² + 5k + 6 = 0
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
k² + 5k + 6 = 0
Lös med pq-formeln
k = -2.5 ± √2.5² - 6
k = -2.5 ± √6.25 - 6
k = -2.5 ± √0.25
k = -2.5 ± 0.5
k1 = -2.5 - 0.5 = -3
k2 = -2.5 + 0.5 = -2
Lösningen till diffekvationen blir
y = C·e-2x + D·e-3x
Tillbaka
fråga 5
Tips:
Karakteristiska ekvationen
k² - 4 = 0
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
k² - 4 = 0
k² = 4
k = ±√4
k1 = -2
k2 = 2
Diffekvationen får då lösningen
y = C·e-2x + D·e2x
Tillbaka
fråga 6
Tips:
Karakteristiska ekvationen är
k² - 4k = 0
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
k² - 4k = 0
Bryt ut k
k(k - 4) = 0
k = 0
k = 4
Diffekvationen får lösningarna
y = C·e4x + D·e0x
y = C·e4x + D
Tillbaka
fråga 7
Tips:
Karakteristiska ekvationen
k² + 4k + 4 = 0
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
k² + 4k + 4 = 0
Lös med hjälp av pq-formeln.
k = -2 ± √2² - 4
k = -2 ± 0
k1 = k2 = -2
Diffekvationen har två lika reella rötter.
Lösningen är då
y = (C + D·x)·e-2x = C·e-2x + D·x·e-2x
Tillbaka
fråga 8
Tips:
Karakteristiska ekvationen
k² - 6k + 9 = 0
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
k² - 6k + 9 = 0
Skriv om med hjälp av kvadreringsregeln
(k - 3)² = 0
Lösningen är
k1 = 3
k2 = 3
eller lös med pq-formeln.
Två lika reella rötter. Diffekvationen får lösningen
y = (C + D·x)·e3x
Tillbaka
fråga 9
Tips:
Karakteristiska ekvationen
k² + 4 = 0
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
k² + 4 = 0
k² = -4
k = ±√-4
k1 = i√4 = 2i
k2 = -i√4 = -2i
Två komplexa lösningar. Diffekvationen har då lösningen
y = A·ei2x + B·e-i2x
som kan skrivas om till
y = C·cos(2x) + D·sin(2x)
Tillbaka
fråga 10
Tips:
Karakteristiska ekvationen
k² + 2k + 5 = 0
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
k² + 2k + 5 = 0
Lös med pq-formeln
k = -1 ± √1² - 5
k = -1 ± √-4
k = -1 ± 2i
Två komplexa rötter. Lösningen till diffekvationen blir
y =A·e(-1-2i)x + B·e(-1+2i)x
som kan skrivas om till
y =e-x(C·cos(2x) + D·sin(2x) )
Tillbaka
fråga 11
Tips:
Karakteristiska ekvationen
k² - 2k + 2 = 0
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
k² - 2k + 2 = 0
Lös med pq-formeln
k = 1 ± √1² - 2
k = 1 ± √-1
k = 1 ± i
Två komplexa rötter. Lösningen på diffekvationen blir
y =ex(C·cos(x) + D·sin(x) )
Tillbaka
fråga 12
Tips:
Sätt y som ett polynom av grad 2: y = ax² + bx + c
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
y = ax² + bx + c
y' = 2ax + b
y'' = 2a
Sätt in i diffekvationen
y'' + 2y' + 2y = x²
2a + 2·(2ax + b) + 2·(ax² + bx + c) = x²
Jämför termer av samma gradtal.
2ax² = x²
ger 2a = 1.
a = 0.5
4ax + 2bx = 0x
4·0.5x + 2bx = 0x
2x + 2bx = 0
ger b = -1
2a + 2b + 2c = 0
2·0.5 + 2·(-1) + 2c = 0
1 - 2 + 2c = 0
2c = 1
c = 0.5
Partikulärlösningen blir
yp = 0.5x² - 1x + 0.5
Tillbaka
fråga 13
Tips:
Sätt y = a·sin(x) + b·cos(x)
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
y = a·sin(x) + b·cos(x)
y' = a·cos(x) - b·sin(x)
y'' = -a·sin(x) - b·cos(x)
diffekvationen blir
y'' + 2y' + 5y = sin(x)
-a·sin(x) - b·cos(x) + 2(a·cos(x) - b·sin(x) ) + 5(a·sin(x) + b·cos(x) ) = sin(x)
Jämför sin-termerna.
-a·sin(x) - 2b·sin(x) + 5a·sin(x) = sin(x)
-a - 2b + 5a = 1
Jämför cos-termerna.
-b·cos(x) + 2a·cos(x) + 5b·cos(x) = 0
-b + 2a + 5b = 0
Sätt samman de två ekvationerna till ett ekvationssystem.
-a - 2b + 5a = 1
-b + 2a + 5b = 0
4a - 2b = 1
2a + 4b = 0
Multiplicera övre raden med 2 och addera ekvationerna.
8a - 4b = 2
2a + 4b = 0
10a = 2
a = 2/10 = 0.2
Sätt in och bestäm b.
2a + 4b = 0
2·0.2 + 4b = 0
4b = -0.4
b = -0.1
Partikulärlösningen blir
yp = 0.2·sin(x) - 0.1·cos(x)
Tillbaka
fråga 14
Tips:
Sätt y = a·e2x
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
y = a·e2x
y' = 2·a·e2x
y'' = 4·a·e2x
Sätt in i ekvationen
y'' + y = e2x
4·a·e2x + a·e2x = e2x
5·a·e2x = e2x
5a = 1
a = 1/5 = 0.2
Partikulärlösningen blir
yp = 0.2·e2x
Tillbaka
fråga 15
Tips:
Karakteristiska ekvationen är
k² - 4 = 0
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
k² - 4 = 0
k² = 4
k1 = 2
k2 = -2
Lösningen blir
y = C·e2x + D·e-2x
Sätt in villkoren i ekvationen.
y(0) = 1
C·e2·0 + D·e-2·0 = 1
som ger
C + D = 1
y'(0) = 0 ger
y' = 2·C·e2x - 2·D·e-2x = 0
y' = 2·C·e0 - 2·D·e-0 = 0
2C - 2D = 0
Lös ekvationssystemet
C + D = 1
2C - 2D = 0
Multiplicera första raden med 2 och addera raderna.
2C + 2D = 2
2C - 2D = 0
4C = 2
C = 0.5
som ger
D = 0.5
Lösningen blir
y = 0.5·e2x + 0.5·e-2x
Tillbaka
fråga 16
Tips:
Karakteristiska ekvationen är
k² - 1 = 0
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
k² - 1 = 0
k² = 1
k1 = 1
k2 = -1
Lösningen till allmänna ekvationen är
y = C·ex + D·e-x
Hitta en partikulärlösning. Sätt
y = ax + b
y' = a
y'' = 0
Sätt in och beräkna a och b.
y'' - y = x
0 - (ax + b) = x
ger
b = 0 och a = -1
yp = -1x + 0
Lösningen blir
y = C·ex + D·e-x - x
Med villkoren:
y(0) = 1
C·e0 + D·e-0 - 0 = 1
C + D = 1
y'(0) = 1
C·e0 - D·e-0 - 1 = 1
C - D - 1 = 1
Ekvationssystemet blir
C + D = 1
C - D - 1 = 1
Addera ekvationerna så försvinner D.
2C - 1 = 2
2C = 3
C = 1.5
Beräkna D
C + D = 1
1.5 + D = 1
D = -0.5
Lösningen är
y = 1,5·ex - 0.5·e-x - x
Tillbaka