Hjälp till Övningar på Mer Integraler













fråga 1

Tips:
Integranden blir 2x - x²

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Egentligen beräknar man arean under kurvan f(x) = 2x
och subtraherar med arean under g(x) = x².

Om G(x) är primitiv funktion till g(x) och F(x) är primitiv funktion till f(x) så blir resultatet

( F(2) - F(0) ) - ( G(2) - G(0) ) = F(2) - G(2) - ( F(0) - G(0) )
som är
2
∫(f(x)-g(x))dx
0
som har lösningen
         2
[x2 - x3/3] = (22-23/3) - (02-03/3) =
         0
= (4 - 8/3) - 0 = 11/3 ≈ 1.333
Tillbaka












fråga 2

Tips:
Bestäm först skärningspunkterna.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Skärningspunkterna får man med
sin(x) = cos(x)
dividera med cos(x)
sin(x)/cos(x) = 1
men denna kvot är samma som tan(x)
tan(x) = 1
som har lösningarna
x = π/4 + n·π

Vilket ger gränserna
π/4 och 5π/4
5π/4                              5π/4
∫(sin(x)-cos(x))dx = [-cos(x)-sin(x)] =
π/4                               π/4
= ( -cos(5π/4) - sin(5π/4) ) - ( -cos(π/4) - sin(π/4) ) ≈ 2.83
Tillbaka












fråga 3

Tips:
Övre kurvan minus undre kurvan.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Bestäm skärningspunkten mellan kurvorna.
4x - x² = x
Skriv om och lös.
x² - 3x = 0
Faktorisera.
x(x - 3) = 0
som har lösningarna
x = 0
x = 3

Integralen blir
3
∫4x-x²-x)dx =
0
3                   3
∫3x-x²dx=[3x²/2-x³/3]
0                   0
Sätt in övre gränsen och undre gränsen och beräkna.
(3·3²/2 - 3³/3) - ( 3·0²/3 - 0³/3) = (27/2 - 27/3) - (0 - 0) = (13.5 - 9) - (0) = 4.5
Arean blir 4.5 areaenheter.
Tillbaka












fråga 4

Tips:
Beräkna integralen från 0 till 3.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Beräkna
3
∫ x² - 3 dx
0

En primitiv funktion F(x) = x³/3 - 3x.
Integralens värde är
F(3) - F(0) = (3³/3 - 3·3) - (3·0³/3 - 3·0) = (9 - 9) - (0 - 0) = 0
Tillbaka












fråga 5

Tips:
Övre kurvan - undre kurvan.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Integralen blir
 2                 2
 ∫4-x²dx = [4x-x³/3] = F(2)-F(-2)=
-2                -2
= (4·2 - 2³/3) - (4·(-2) - (-2)³/3) =
= 8 - 8/3 - (-8 - (-8)/3) = 8 - 8/3 + 8 - 8/3 = 16 - 16/3 = 32/3
Tillbaka












fråga 6

Tips:
cos(x) är inre derivata till den primitiva funktionen.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Enligt tipset blir då primitiva funktionen
F(x) = sin²(x)
eftersom derivatan F'(x) = 2·sin(x)·cos(x)

F(π) - F(0) =
sin²(π) - sin²(0) = 0² - 0² = 0
Tillbaka












fråga 7

Tips:
cos(x) är inre derivata till den primitiva funktionen.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Enligt tipset blir då F(x) = sin³(x) eftersom
F'(x) = 3·sin²(x)·cos(x)

Integralen blir
F(π/2) - F(0) =
sin³(π/2) - sin³(0) = 1³ - 0³ = 1 - 0 = 1
Tillbaka












fråga 8

Tips:
Primitiv funktion är ln(x)

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Integralen blir då
e              e
∫1/xdx = [ln(x)]=
1              1
= ln(e) - ln(1) = 1 - 0 = 1
Tillbaka












fråga 9

Tips:
En primitiv funktion är ln(x + 5)

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Om F(x) = ln(x+5) blir derivatan
F'(x) = 1/(x + 5) ·1 = 1/(x + 5)
Integralen blir då F(e) - F(1) =
ln(e + 5) - ln(1+5) = 2.04359.. - 1.79175... = 0.251832...
Tillbaka












fråga 10

Tips:
sin(x) är inre derivata till primitiva funktionen

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Man har 1/cos(x) som derivatan av F(x) och sin(x) som inte derivata av F(x).
Det lutar åt att funktionen F(x) är en ln-funktion.

Pröva med F(x) = ln(cos(x))

F'(x) = 1/cos(x) · (-sin(x) )
Vilket stämmer så när som på tecknet.

F(x) = -ln(cos(x))

Integralen blir då
F(π/3) - F(0) =
-ln(cos(π/3)) + ln(cos(0)) =
-ln(0.5) + ln(1) = 0.693147... + 0 = 0.693147...
Tillbaka