hjälp till Matematik 3

Hjälp till Blandade övningar

fråga 1

Tips:
Konjugatregeln

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

x² - 9 kan utvecklas med konjugatregeln till
(x + 3)(x - 3)
Bråket blir då

(x+3)(x-3)
   (x+3)

Förkorta med (x + 3). Kvar blir
(x-3) som kan skrivas utan parentes.
Tillbaka

fråga 2

Tips:
Kvadreringsreglerna

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

(x + 4)² kan utvecklas med kvadreringsregeln.
(x + 4)² = x² + 8x + 16

(x - 4)² = x² - 8x + 16
Hela uttrycket blir då
x² + 8x + 16 + x² - 8x + 16
Termerna +8x och -8x tar ut varandra. Kvar blir
x² + 16 + x² + 16 = 2x² + 32.
Tillbaka

fråga 3

Tips:
Använd kvadreringsregeln

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Täljare (x + 3)² kan utvecklas med kvadreringsregeln till
(x + 3)² = x² + 6x + 9
eller skrivas som två parenteser. (x + 3)(x + 3)
Uttrycket blir då

(x+3)(x+3)
(x-3)(x+3)

Förkorta med (x + 3). Kvar blir

(x+3)
(x-3)

Skriv detta med snett bråkstreck till
(x + 3) / (x - 3)
Tillbaka

fråga 4

Tips:
Använd kvadreringsregeln (a-b)² = a² - 2ab + b²

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Med kvadreringsregeln ser man att täljaren
x² - 4x + 4 kan skrivas x² - 2·2·x + 2²
som ger oss
x² - 4x + 4 = (x - 2)² = (x - 2)(x - 2)
Bråket blir då

(x-2)(x-2)
   (x-2)

som kan förkortas till
x - 2
Tillbaka

fråga 5

Tips:
Bryt ut x.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Täljaren innehåller x i båda termerna så x kan brytas ut.
x³ - 9x = x(x² - 9)
Parentesen (x² - 9) kan skrivas om med konjugatregeln till
(x + 3)(x - 3)
Täljaren blir då
x(x + 3)(x - 3)

I nämnaren x² + 3x kan x brytas ut
x(x + 3)

Hela bråkuttrycket blir då

x(x+3)(x-3)
 x(x+3)

Förkorta med x och med (x + 3) till
(x - 3)
Svar: x - 3
Tillbaka

fråga 6

Tips:
Får man dividera med noll?

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Man får inte dividera med noll. Man vet inte vad det blir, så nämnaren (x - 3) får inte bli noll.
x - 3 ≠ 0
addera 3 till båda leden
x - 3 + 3 ≠ 0 + 3
x ≠ 3
x får inte vara lika med 3. Uttrycket är då inte definierat för x = 3.
Tillbaka

fråga 7

Tips:
Använd ⁵√

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Ekvationer med x^{något tal} löser man genom att ta
^{något tal}√ ur båda leden.

x⁵ = 1024
⁵√x⁵ = ⁵√1024
Vänsterledet blir då x.
x = ⁵√1024
x = 4
Tillbaka

fråga 8

Tips:
Faktorisera tredjegradsekvationen.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Tredjegradsekvationer kan vi bara lösa om högerledet = 0 och man kan bryta ut x eller x² ur vänsterledet.

x³ - 3x² = 0
Bryt ut x².
x²(x - 3) = 0
Vänsterledet består av två faktorer: ( x² ) och (x - 3). För att produkten ska bli = 0 måste antingen ena faktor ( x² ) = 0 eller andra faktorn (x - 3) = 0.
x² = 0
x - 3 = 0
som ger lösningarna
x = 0
x = 3
Tillbaka

fråga 9

Tips:
Exponentialekvation. Använd logaritmer.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Skriv båda leden som 10-potenser.
5^x = 10^x·lg(5)
8 = 10^lg(8)

Ekvationen kan nu skrivas som
10^x·lg(5) = 10^lg(8)
Då basen är lika för båda leden måste exponenterna vara lika.
x·lg(5) = lg(8)
Lös ut x
x = lg(8) / lg(5) = 1.2920
Tillbaka

fråga 10

Tips:
Exponentialekvation med e. Använd naturliga logaritmer.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Vänsterledet är redan skrivet som en e-potens. Skriv om högerledet som en e-potens.
25 = e^ln(25)

Ekvationen blir nu
e^2x = e^ln(25)
Baserna är lika så då måste exponenterna vara lika.
2x = ln(25)
Lös ut x
x = ln(25) / 2 = 3.218876 / 2 = 1.6094
Tillbaka

fråga 11

Tips:
lg är ett annat namn för exponenten hos en 10-potens.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

lg(x) = 4 betyder att exponenten för talet x är 4 om talet skrivs som en 10-potens.
x = 10⁴
x = 10000
Tillbaka

fråga 12

Tips:
Få ln x fritt i vänsterledet.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

ln x eller ln(x) ska stå ensamt i vänsterledet. Minska båda leden med 3.
3 + ln(x) - 3 = 4² - 3
ln(x) = 16 - 3
ln(x) = 13

Med ln(x) = 13 menar man att exponenten för x är 13 om x skrivs som en e-potens.
ln(x) = 13
x = e¹³
Beräkna e¹³
e¹³ = 442413.392
Tillbaka

fråga 13

Tips:
Bryt ut x.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Faktorisera tredjegradsekvationen eftersom vi inte kan lösa den annars. Högerledet måste också vara noll.

x³ - x = 0
x(x² - 1) = 0

Antingen är faktor (x) = 0 eller faktor (x² - 1) = 0
x = 0
x² - 1 = 0

Första lösningen är klar: x₁ = 0. Andra lösningen får man genom att lösa andragradsekvationen.
x² - 1 = 0
x² = 1
x = ±√1

x₂ = -1
x₃ = 1

Lösningarna som är skilda från noll är de två sista.
Tillbaka

fråga 14

Tips:
Lutningen = derivatan.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Tangenten är en rät linje som har samma lutning som kurvan i en punkt. För att bestämma en lutningen deriverar du och sätter in x-koordinaten.

f(x) = x² - 4
f '(x) = 2x
Med x = 1 insatt blir lutningen
f '(1) = 2·1 = 2 = lutningen = k

Punkten (x, y) där kurvan tangerar tangenten har x = 1. Beräkna funktionsvärdet.
f(x) = x² - 4
f(1) = 1² - 4 = 1 - 4 = -3
Punkten (x, y ) = (1, -3)

En rät linjens ekvation y = k·x + m
Sätt in det du vet (x, y) = (1, -3) och k = 2
y = k·x + m
-3 = 2·1 + m
Lös ut m
-3 - 2·1 = m
5- = m

Tangentens ekvation blir
y = 2x -5
Tillbaka

fråga 15

Tips:
Beräkna var lutningen = -3.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Derivera funktionen för att få fram ett uttryck för lutningen.
f(x) = x³ - 3x
f '(x) = 3x² - 3
Lutningen k = -3 dvs f '(x) = -3
3x² - 3 = -3
Lös ekvationen.
3x² -3 = -3
3x² = 0
x² = 0
x = ±√0 = 0

Bestäm funktionens y-värde för x = 0
f(x) = x³ - 3x
f(0) = 3·0³ - 3·0
f(0) = 0
Punkten (x, y) på kurvan är (0, 0).

Bestäm nu tangentens ekvation.
y = k·x + m
0 = -3·0 + m
0 = 0 + m
m = 0
Ekvationen blir nu
y = -3x + 0
y = -3x
Tillbaka

fråga 16

Tips:
Bestäm x för extrempunkten.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Först måste funktionen utvecklas innan den kan deriveras.
f(x) = (x - 2)² + 2
Använd kvadreringsregeln (a - b)² = a² - 2ab + b²
f(x) = (x² - 4x + 4) + 2. f(x) = x² - 4x + 6
Derivera.
f '(x) = 2x - 4
Bestäm derivatans nollställe för att hitta extrempunkten.
2x - 4 = 0
2x = 4
x = 2

Extrempunkten på kurvan har x = 2. bestäm nu punktens y-värde.
f(x) = (x - 2)² + 2
f(2) = (2 - 2)² + 2
f(2) = 0² + 2 = 2
Punkten (x, y) = (2, 2)

Bestäm tangentens ekvation. Lutningen på extrempunkten är ju 0 så k = 0.
y = k·x + m
2 = 0·2 + m
2 = m
Tangentens ekvation
y = k·x + m
y = 0·2 + 2
y = 2
Tillbaka

fråga 17

Tips:
Gör en teckentabell.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

För att se hur funktionens lutning varierar med x gör du en teckentabell

Teckentabell
x	2	3	4
f '(x)	+	0	-
f(x)	växande	max	avtagande

Har du ett maximum för x = 3 måste funktionen vara växande för x-värden mindre än 3, t.ex. x = 2 och avtagande för x-värden större än x = 3.

Funktionen är växande för x = 2.
Tillbaka

fråga 18

Tips:
sätt en funktion f(x) = ax² + bx + c

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

f(x) = ax² + bx + c
För att f(0) = 2 ska x ersättas med 0. Det ger
f(0) = a·0² + b·0 + c = 2
som ger c = 2
f(x) = ax² + bx + 2

f '(0) = -2
Derivera funktionen. Sätt in x = 0.
f '(x) = 2ax + b
Sätt in x = 0.
f '(0) = 2a·0 + b = -2
Det ger b = -2.

f(x) = ax² - 2x + 2.
f(1) = 1 ger
f(1) = a·1² - 2·1 + 2 = 1
a - 2 + 2 = 1
a = 1

Funktionen är
f(x) = x² - 2x + 2
Tillbaka

fråga 19

Tips:
Var är funktionen = 0?

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

En funktions nollställen är de punkter på grafen där y = 0, dvs på x-axeln.
Kurvan korsar x-axeln för x = -3 och för x = 1
Minsta nollstället = -3
Största nollstället = 1
Tillbaka

fråga 20

Tips:
Lös ekvationen f(x) = 0

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

f(x) = 0
x² - 4x = 0
Med pq-formeln hjälp får du lösningarna
x = 2 ±√2² + 0
x = 2 ±√4
x = 2 ± 2
x₁ = 2 - 2 = 0
x₂ = 2 + 2 = 4
Tillbaka

fråga 21

Tips:
Derivatan visar funktionens lutning.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

För en maximipunkt ska funktionen före punkten vara växande, bli = 0 på maxpunkten och sedan vara avtagande. Derivatan ska då först vara positiv, noll och sedan negativ.
I grafen hittar du dessa villkor kring x = -3.
För värden mindre än -3 är grafen ovanför x-axeln och för värden större än -3 är grafen nedanför x-axeln.
Maximipunktens x-koordinat = -3.
Tillbaka

fråga 22

Tips:
Derivatan visar kurvans lutning.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Grafen är kurvans lutning f '(x). För x = 1 kan du läsa av lutningen genom att se vilket y-värde grafen har för x = 1.
Du läser av värdet 2.
Lutningen på funktionen f(x) är då 2.
Tillbaka

fråga 23

Tips:
Deriveringsreglerna.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Polynom t.ex. f(x) = 3x⁴ - 3x + 1 har derivatan
f '(x) = 3·4x³ - 3 = 12x³ - 3

Exponentialfunktionen deriveras enligt regeln
h(x) = C·e^kx
h'(x) = k·C·e^kx
Observera att exponenten inte ändrar sig vid derivering
g(x) = 5e^2x
g'(x) = 2·5e^2x = 10e^2x
Tillbaka

fråga 24

Tips:
Utveckla parenteserna först

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Sådana här uttryck kan du inte derivera direkt (Detta lär du dig i MaD), utan parenteserna måste först utvecklas
f(x) = (x - 3)²
f(x) = x² - 6x + 9
f '(x) = 2x - 6

g(x) = (2x + 4)²
g(x) = (2x)² + 2·2x·4 + 4²
g(x) = 4x² + 16x + 16
g'(x) = 8x + 16
Tillbaka

fråga 25

Tips:
Skriv om 2 till e^(ln2)

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Efter omskrivning kan funktionen deriveras.
f(x) = 2^x = (e^ln(2) )^x = e^ln(2)·x
Derivatan av e^kx är k·e^kx
Detta ger oss
f '(x) = (ln2)·e^ln(2)·x

Men då e^ln(2)·x är samma sak som 2^x kan derivatan skrivas om
f '(x) = (ln2)·e^ln(2)·x = ln(2)·2^x
Tillbaka

fråga 26

Tips:
Derivera, sätt in x = 1

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

f(x) = x² + 4x + 1.
f '(x) = 2x + 4

Sätt in x = 1
f '(1) = 2·1 + 4 = 6
Tillbaka

fråga 27

Tips:
Gör en teckentabell

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Bestäm först derivatan och där derivatan = 0.
f(x) = 4x - x²
f '(x) = 4 - 2x
Sätt derivatan = 0
4 - 2x = 0
4 = 2x
x = 2

Teckentabell
x	1	2	3
f '(x)	4 - 2·1 = 2	0	4 - 2·3 = -2
f(x)	växande	max	avtagande

Funktionen har maximum för x = 2
Tillbaka

fråga 28

Tips:
Bestäm där derivatan = 0

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Derivatan
g(x) = x³ - 3x + 1.
g'(x) = 3x² - 3
Sätt derivatan = 0
3x² - 3 = 0
3x² = 3
x² = 1
x = ±√1
x₁ = -1
x₂ = 1
Rita en teckentabell. Sätt in de x som ger g'(x) = 0. Beräkna g(x) för dessa värden.

Teckentabell
x	-2	-1	0	1	2
g '(x)	9	0	-3	0	9
g(x)	växande	max	avtagande	min	växande
g(x)		3		-1

Maximipunkten = (-1, 3)
Minimipunkten = (1, -1)
Tillbaka

fråga 29

Tips:
Lutning = derivata

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

f(x) = 3x³ - 4x²
Derivera
f '(x) = 9x² - 8x
Beräkna derivatans värde för x = 2.
f '(2) = 9·2² - 8·2
f '(2) = 9·4 - 16 = 36 - 16
f '(2) = 20
Tillbaka

fråga 30

Tips:
Växande eller avtagande. Derivera.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

h(x) = (2x - 3)²
Utveckla parentesen.
h(x) = 4x² - 12x + 9
Derivatan blir
h'(x) = 8x - 12

Beräkna derivatans värde för
x = -2
h'(-2) = 8·(-2) - 12 = -16 - 12 = - 28
Derivatan är negativ. Funktionen är avtagande
Tillbaka

fråga 31

Tips:
Bestäm derivatans nollställen.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

f(x) = x³ - 3x
f '(x) = 3x² - 3
Sätt derivatan = 0
3x² - 3 = 0
3x² = 3
x² = 1
x = ±√1
x₁ = -1
x₂ = 1

Undersök om funktionen är växande eller avtagande i de 3 intervall som bildas:

x < -1:
välj x = -2
f '(-2) = 3·(-2)² - 3 = 3·4 - 3 = 12 - 3 = 9
funktionen är växande

-1<x<1:
välj x = 0
3·0² - 3 = -3
Funktionen är avtagande.

1 < x:
välj x = 2
3·2²-3 = 3·4 -3 = 12 - 3 = 9
funktionen är växande

Funktionen är avtagande i intervallet -1 < x < 1
Tillbaka

fråga 32

Tips:
Derivatans värde ger lutningen.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Ur diagrammet kan man avläsa derivatans värde. För x = 2 läser man y = f '(x) = -1. Derivatan är negativ.
Funktionen är avtagande för x = 2.
Tillbaka

fråga 33

Tips:
Triangelarean A(x) = x(4 - x)/2 = 2x - 0.5x²

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Maximala arean är där areafunktionens derivata = 0. Utveckla A(x)
A(x) = (4x - x²)/2 = 2x - 0.5x²
Derivera och sätt derivatan = 0.
A'(x) =2 - x
2 - x = 0
2 = x
x = 2

Funktionen A(x) = 2x - 0.5x² är en 'surkurva' då x²-termen är negativ och har därför maximum. Maximum för x = 2.
Beräkna maxvärdet.
A(x) = 2x - 0.5x²
A(2) =2·2 - 0.5·2² = 4 - 0.5·4 = 4 - 2 = 2.
Maximal area fås för x = 2 och är 2 cm²
Tillbaka

fråga 34

Tips:
Askens längd och bredd = 21 - 2x. Beräkna volymen

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Volymen av en ask = längd·bredd·höjd. Med längd = bredd = 21-2x och höjden x blir volymen
V(x) = (21 - 2x)(21 - 2x)x
V(x) = (441 - 84x + 4x²)x = 441x - 84x² + 4x³

Maximal volym får man för det x som ger volymderivatan = 0.
V'(x) = 441 - 168x + 12x²
Sätt V'(x) = 0
441 - 168x + 12x² = 0

Detta är en andragradsekvation som löses med pq-formeln, men först måste ekvationen divideras med 12.
36.75 - 14x + x² = 0
Skriv om så termerna kommer i rätt ordning.
x² - 14x + 36.75 = 0
x = 7 ±√7² - 36.75
x = 7 ±√12.25
x = 7 ± 3.5
x₁ = 10.5
x₂ = 3.5

Om x = 10.5 blir lådans längd = 0 och volymen blir noll.
x = 3.5 ger volymen
V(x) = 441x - 84x² + 4x³
V(3.5) = 441·3.5 - 84·3.5² + 4·3.5³ = 686 cm³
Tillbaka

fråga 35

Tips:
Rektangelarean = längd·höjd = x·(2 - 0.5x)

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Arean A(x) = x(2 - 0.5x) = 2x - 0.5x²
Maximal area där derivatan = 0.
A'(x) = 2 - x = 0
2 = x
x = 2

Sätt in x = 2 i Areafunktionen.
A(x) = 2x - 0.5x²
A(2) = 2·2 - 0.5·2² = 4 - 0.5·4 = 4 - 2 = 2 areaenheter

För att kontrollera att det är ett maximum kan man använda andraderivatan. Om A''(x) < 0 så är det en maximipunkt.
A'(x) = 2 - x
A''(x) = -1
A'' är negativ vilket ger ett maximum för x = 2.
Tillbaka

fråga 36

Tips:
Andra talet = 3 = 3¹

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Andra talet har en 1:a som exponent och sedan ökar exponenten med 1 för varje nytt tal tills exponenten är 9. Då blir det 10 tal totalt.
Tillbaka

fråga 37

Tips:
n är antalet tal i talföljden.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

n är antalet tal. Här är alla tal utskrivna så det är bara att räkna hur många de är. svar = 8.
Tillbaka

fråga 38

Tips:
Förändringsfaktorn 1.045.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Förändringsfaktorn 1.045 svarar mot 104.5% vilket är en ökning från 100% med 4.5%. Räntesatsen är då 4.5%.
Tillbaka

fråga 39

Tips:
Förändringsfaktor, kvoten = 0.85. Första talet = 200.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Talen i talföljden är
200 + 200·0.85 + 200·0.85² + 200·0.85³ + 200·0.85⁴ + ..
Fjärde talet är 200·0.85³ = 122.875
Tillbaka

fråga 40

Tips:
Insättningarna ger en geometrisk summa.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Sista insättning får ingen ränta så det blir 1000 kr.
Näst sista insättningen har fått 1 års ränta och blir 1000·1.045¹
Tredje sista insättningen har fått 2 års ränta och blir 1000·1.045²
...
10 insättningar, första talet = 1000kr, kvoten= 1.045

Summa formeln
S = a·(kⁿ - 1) / (k - 1) ger
S = 1000·(1.045²⁰ - 1) / ( 1.045 - 1)
S = 31371.42
Tillbaka

fråga 41

Tips:
Geometrisk summa.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Beräkna behållningen omedelbart efter den sista insättningen.
Antal insättningar = 10 ( räkna på fingrarna), kvoten = 1.045, första talet = 2000kr. Summan blir
S = a·(kⁿ - 1) / (k - 1)
S = 2000·(1.045¹⁰ - 1) / ( 1.045 - 1)
S = 24576.42kr

Dessa pengar får sitta inne på kontot i 3 år (räkna på fingrarna) och växer till
S = 24576.42·1.045³ = 28045.78kr
Tillbaka

fråga 42

Tips:
Sätt in 5 och beräkna.

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Temperaturen blir
t = 80·0.85⁵
t = 35.496 ≈ 35

Temperaturen från början ges av talet först dvs. 80°C
Tillbaka

fråga 43

Tips:
Hur många timmar har det gått sedan 08.00?

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

Mellan 08.00 och 18.00 har det gått 10 timmar. Sätt in 10 på x och beräkna.
A = 10000·e^0.15x
A = 10000·e^(0.15·10)
A = 10000·e^1.5 = 44816.89
Antalet bakterier blev 45000
Tillbaka

fråga 44

Tips:
Hur många gånger dyrare har det blivit från 1990 till 2005?

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

En prisutveckling ges av ekvationen
P = P_o·x^t där x är förändringsfaktorn och t är tiden.
Sätt in värden och beräkna förändringsfaktorn x
P = P_o·x^t
510 = 235·x¹⁵
Dividera båda leden med 235
510 / 235 = x¹⁵
Tag 15:e roten ur båda leden för att få x
¹⁵√510/235 = ¹⁵√x¹⁵
¹⁵√510/235 = x
x = 1.0530
Årliga ökningen blir 5.3%
Tillbaka

fråga 45

Tips:
Ekvation för förändring: P = P_o · x^t

Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt

P = P_o · x^t
Sätt in värden.
80000 = 200000 ·x¹⁰
Skriv
80000=200000*x^10

b) Dividera båda leden med 200000
80000 / 200000 = x¹⁰
Tag 10:e roten ur båda leden.
¹⁰√80000/200000 = ¹⁰√x¹⁰
x = 0.91244
Detta svarar mot 91.244% dvs årliga förändringen är en minskning med 100% - 91.244% = 8.756%
Tillbaka