Hjälp till Övningar på Numeriska metoder
fråga 1
Tips:
Rita båda graferna i räknaren
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Skriv in ex på Y1 i räknaren och 2 - x på Y2 i räknaren.
Rita de båda graferna.
Sök grafernas skärningspunkt med 'Intersection'.
x = 0.4428544
fråga 2
Tips:
Skriv in de båda leden i grafräknaren
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Skriv in sin(x) på Y1 och 0.5 på Y2.
Se till så grafritaren är inställd på 'degrees'
Välj 'Intersection'
x = 30°
Tillbaka
fråga 3
Tips:
Halvera intervallet.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f(x) = x · ln(x) - 1
Beräkna funktionsvärden för intervallets gränser och för mittpunkten| x | f(x) |
| 1 | -1 |
| 2 | 0.386... |
| 3 | 2.2958... |
Då funktionen växlar tecken nånstans mellan x = 1 och x = 2 bör lösningen ligga mellan x = 1 och x= 2
Halvera intervallet| x | f(x) |
| 1 | -1 |
| 1.5 | -0.3918... |
| 2 | 0.386... |
Funktionen växlar tecken mellan 1.5 och 2, så halvera detta intervall| x | f(x) |
| 1.5 | -0.3918... |
| 1.75 | -0.0206... |
| 2 | 0.386... |
Lösningen bör ligga i intervallet 1.75 < x < 2
Tillbaka
fråga 4
Tips:
x - f(x) / f '(x) → x
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Skriv in funktionen ex -2 i räknarens graf på Y1. Skriv in derivatan f '(x) = ex på Y2
Beräkna x - Y1 / Y2 och lagra på x
| x | x - f(x) / f '(x) |
| 1 | 0.73575888234288 |
| 0.73575888234288 | 0.69404229991892 |
| 0.69404229991892 | 0.69314758105977 |
Efter 3 iterationer är x = 0.693147 en lösning med 6 korrekta decimaler
Tillbaka
fråga 5
Tips:
Skriv om så ekvationen blir lika med 0. Använd Newtons metod.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Rita upp funktionens graf. Man ser att det finns en lösning nära x = 0 och en lösning nära x = 2.
Med Newtons metod behövs derivatan av ln(x) - x² + 4.
h(x) = ln(x) - x² + 4
h'(x) = 1/x - 2x + 0.
Newtons iterationsformel
x - h(x) / h'(x) blir
x - (ln(x) - x² +4) / (1/x - 2x).
Med startvärdet x = 2Värdetabell| x | nytt x-värde |
| 2 | 2.19804205158856 |
| 2.19804205158856 | 2.1869229483702 |
| 2.1869229483702 | 2.1868881034743 |
| 2.1868881034743 | 2.1868881035298 |
Efter 4 iterationer blir lösningen x = 2.18688810 med 8 decimalers noggrannhet.
fråga 6
Tips:
Mittpunkten i det röda området har y-värdet 3.75
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Rektangelmetoden med ett intervall innebär att arean approximeras med en rektangel med mittpunktens y-värde som höjd och intervallet 1 < x < 2 som bredd.
Arean blir
A = 3.75 · 1 = 3.75
Svara med 2 värdesiffror.
Tillbaka
fråga 7
Tips:
Dela in området i parallelltrapetser.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Parallelltrapetsen mellan x = 0 och x = 1 blir en triangel. Area = b · h /2 = 1 · 3 / 2 = 1.5ae
Parallelltrapetsen mellan x = 1 och x = 2 beräknas med formeln
A = b · (h1 + h2) / 2
A = 1 · ( 3 + 4) / 2 = 3.5ae
Totala arean blir:
A = 1.5ae + 3. 5ae = 5 ae
Tillbaka
fråga 8
Tips:
Trapetsformel: A = 0.5/2·( f(0) + 2 · f(0.5) + 2 · f(1) + 2 · f(1.5) + f(2) )
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Värdetabell| x | f(x) |
| 0 | 0 |
| 0.5 | 1.75 |
| 1 | 3 |
| 1.5 | 3.75 |
| 2 | 4 |
Enligt trapetsformeln:
0.5/2 · (0 + 2 · 1.75 + 2 · 3 + 2 · 3.75 + 4 ) = 5.25
Tillbaka