Hjälp till Uppgifter i tangenter
fråga 1
Tips:
Börja med att ta fram derivatan f '(x)
Sätt sedan in x-värdet i derivatan.
Tillbaka
Med Kalkylatorn:
Skriv in funktionen x^2-4x.
Skriv in värdet för x:
Rita kurvan. Klicka på 'draw Graph' och rita punkten. Klicka på 'Plot'.
Klicka sedan på knappen 'Tangent'. Avläs tangentens k-värde
Tillbaka
fråga 2
Tips:
Ta fram derivatan f '(x).
Sätt in x = 1 i derivatan så får man tangentens lutning.
Tillbaka
Med Kalkylatorn:
Skriv in funktionen i Input-rutan. Rita grafen. Klicka på 'draw Graph'.
Sätt x = 1. Skapa en punkt på linjen. Klicka på 'Plot'
Skapa en tangent till linjen som går genom punkten. Klicka på 'Tangent'
Avläs tangentens lutning.
Tillbaka
fråga 3
Tips:
Ta fram derivatan f '(x).
Sätt in x = -1 i derivatan så får man tangentens lutning.
Tillbaka
Med Kalkylatorn:
Skriv in funktionen i Input-rutan. Rita grafen. Klicka på 'draw Graph'.
Sätt x = -1. Skapa en punkt på linjen. Klicka på 'Plot'.
Skapa en tangent till linjen som går genom punkten. Klicka på 'Tangent'.
Avläs tangentens lutning.
Tillbaka
fråga 4
Tips:
Bestäm derivatan. f '(x) = 2x - 4.
Sätt in x-koordinaten x = 3 vilket ger lutningen k = 2
Tillbaka
Beräkna funktionsvärdet för x = 3.
f(x) = x² - 4x
f(3) = 3² - 4·3 = 9 - 12 = -3
Det ger en punkt (3, -3).
Använd räta linjen på k-form y = kx + m och sätt in punktens koordinater på x respektive y och k-värdet för att bestämma m.
y = k·x + m
-3 = 2·3 + m
-3 = 6 + m
-3 - 6 = m
m = -9
Tangentens ekvation blir då
y = 2x - 9
Med Kalkylatorn:
Rita grafen.
Sätt ut en punkt för x = 3.
Skapa en tangent till kurvan i punkten.
Avläs tangentens hela ekvation , inte bara k-värdet.
Tillbaka
fråga 5
Tips:
Bestäm derivatan. f '(x) = 2x - 6.
Tillbaka
Sätt in x-koordinaten x = 2 i derivatan
f '(x) = 2x - 6
f '(2) = 2·2 - 6 = 4 - 6 = -2
vilket ger lutningen k = -2
Beräkna funktionsvärdet för x = 2.
f(x) = x² - 6x
f(2) = 2² - 6·2
f(2) = -8
Det ger en punkt (2, -8).
Använd räta linjen på k-form y = kx + m och sätt in punktens koordinater på x respektive y och k-värdet för att bestämma m.
y = k·x + m
-8 = -2·2 + m
-8 = -4 + m
-8 + 4 = m
-4 = m
Tangentens ekvation blir då
y = -2x - 4
Med Kalkylatorn:
Rita grafen.
Sätt ut en punkt på kurvan för x = 2
Skapa en tangent till kurvan i punkten.
Avläs tangentens hela ekvation , inte bara k-värdet.
Tillbaka
fråga 6
Tips:
Bestäm derivatan f '(x).
Sätt derivatan = 2. (Vi vill veta vilket x som ger denna lutning.)
Tillbaka
f '(x) = 4 - 2x
Sätt derivatan = 2
4 - 2x = 2
4 = 2x + 2
4 - 2 = 2x
2 = 2x
1 = x
ger lösningen x = 1.
Vi vill ha en punkt på kurvan med x-värdet x = 1.
Sätt in x = 1 i f(x)
f(x) = 4x - x²
f(1) = 4·1 - 1²
f(1) = 4 - 1 = 3
Punkten på kurvan = (1, 3).
Sätt in punktens koordinater och k = 2 i räta linjens ekvation
y = kx + m.
3 = 2·1 + m
3 = 2 + m
3 - 2 = m
1 = m
Tangentens ekvation blir
y = 2x + 1
Med Kalkylatorn:
Rita funktionen.
Ta fram derivatan. Klicka på 'd/dx'.
Skriv derivatan - 2 och klicka på 'Solve'.
Skriv in funktionen. Beräkna värdet för det x-värde 'Solve' tog fram. Tryck på knappen 'Plot' och sedan på 'Tangent'.
Avläs tangentens ekvation.
Tillbaka
fråga 7
Tips:
Först måste man bestämma de punkter där f (x) = 0. dvs x3 - 4x = 0.
Tillbaka
Bryt ut x ger
x( x2 - 4) = 0 vilket har lösningarna x = -2, x = 0, x = 2. f '(x) = 3x2 - 4.
Bestäm de punkter där derivatan är negativ.
| x-värde | x = -2 | x = 0 | x = 2 |
| f '(x) | 8 | -4 | 8 |
En punkt på kurvan är då (0, 0)
Tangentens ekvation y = -4x
Tillbaka
fråga 8
Tips:
Bestäm derivatan f '(x) = 3x2 - 4.
Tillbaka
Sätt f '(x) = -1 dvs 3x2 - 4 = -1.
Lös ekvationen vilket ger lösningarna x1 = -1 och x2 = 1.
Bestäm funktionsvärdena för lösningarna
tabell med värden| x-värde | x = -1 | x = 1 |
| f '(x) | -1 | -1 |
| f (x) | 3 | -3 |
Använd y = kx + m och beräkna tangenternas ekvationer.
Med Kalkylatorn:
Rita kurvan x^3-4x
Ta fram derivatan. Klicka på 'd/dx'.
Skriv in derivatan -(-1) och klicka på 'Solve'.
Skriv in funktionen igen. Sätt ut en punkt på kurvan för x-värdet 'Solve' tog fram. Klicka på 'Plot'.
Sätt en tangent i punkten. Klicka på 'Tangent'.
Lös derivatan -(-1) för ett negativt värde på x.
Gör som ovan igen. Den andra tangenten ritas.
Tillbaka
fråga 9
Tips:
Tangenten går genom punkterna (3, 5) och en punkt på kurvan (x, f(x) )
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Då tangenten går genom två kända punkter kan lutningen på tangenten beräknas med
k = (y2 - y1) / ( x2 - x1)
Med insatta värdenk = 5-f(x)
3 - x
men k bestäms också av derivatan f '(x) i tangeringspunktenf'(x)= 5-f(x)
3 - x
sätt in f(x) = x² och f '(x) = 2x2x = 5-x²
3-x
Lös ekvationen
(3 - x)·2x = 5 - x²
6x - 2x² = 5 - x²
0 = 5 - x² - 6x + 2x²
0 = 5 - 6x + x²
x² - 6x + 5 = 0
x = 3 ±√3² - 5
x = 3 ±√4
x1 = 3 - 2 = 1
x2 = 3 + 2 = 5
Ekvationen för tangenten där
x = 1:
k = f '(1) = 2·1 = 2
y = f(1) = 1² = 1
y = kx + m
1 = 2·1 + m
m = -1
y = 2x - 1
Ekvationen för tangenten där
x = 5:
k = f '(5) = 2·5 = 10
y = f(5) = 5² = 25
y = kx + m
25 = 10·5 + m
m = -25
y = 10x - 25
Tillbaka