Hjälp till Övningar på trigonometriska kurvor
fråga 1
Tips:
Hur lång är en hel svängning?
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
En hel svängning är när kurvan är i ett läge t.ex. passerar x-axeln från minus till plus och till nästa likadana läge. Kurvan passerar x-axeln för x = 0° och nästa gång detta sker på samma sätt är för x = 360°.
Perioden är 360°
Tillbaka
fråga 2
Tips:
Amplitud är hur stor avvikelsen från jämviktsläget kan bli som mest.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
sinusfunktionen varierar mellan -1 och +1. Amplituden multiplicerar sin(x) så variationen kan bli större. Amplituden är talet framför sin(x).
Amplituden = 3.
Tillbaka
fråga 3
Tips:
Hur mycket avviker kurvan som mest från medel?
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Kurvans medel ligger på y = 1.
Härifrån avviker kurvan med som mest 1 uppåt och 1 nedåt, dvs kurvans amplitud A = 1.
Två amplituder är skillnaden mellan högsta och lägsta värdet.
2A = 2 - 0
2A = 2
A = 1
Tillbaka
fråga 4
Tips:
Amplituden är maximal variation från jämviktsläget.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Talet 3 framför sin är amplituden. Minustecknet innebär att kurvan är spegelvänd mot kurvan 3 sin(0.75x). 5 innebär att kurvan är flyttad upp 5 enheter från x-axeln.
Tillbaka
fråga 5
Tips:
Sinuskurvan startar i origo.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Sinus startar i origo och ökar med ökande x fram till sin högsta punkt för x = 90°
Kurva a uppfyller dessa villkor.
Tillbaka
fråga 6
Tips:
Cosinuskurvan är 0 för x = 90°
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Dessutom är cos(0°) = 1.
Kurva d uppfyller dessa villkor.
Tillbaka
fråga 7
Tips:
Hur många grader är en hel period?
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
En hel period är för x = 180°
Det ger argumenten för sinuskurvan y = sin(Bx)
Bx = 360° för x = 180°
B · 180° = 360°
B = 2
Tillbaka
fråga 8
Tips:
Var ligger medelvärdet för kurvan?
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Medelvärdet för kurvan är den röda linjen y = 1. Kurvan har flyttats upp 1 enhet.
Perioden är 180°. Argumentet för kurvan är då 2 för 2 · 180° = 360° , ett helt varv.
Kurvan är y = sin(2x) + 1
Tillbaka
fråga 9
Tips:
En hel period går från 0° till 450°
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
y = sin(B·x) + 2
Om x = 450° ska B·x = 360°
B·450° = 360°
B =360° / 450° = 0.8
Kurvan blir y = sin(0.8x) + 2
Tillbaka
fråga 10
Tips:
undersök kurvornas amplitud och period.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
kurvan y = sin(2x) har gjort en hel period när 2x = 360°
x = 180° perioden är 180°. Då har kurvan gjort en hel svängning. Det är bara den röda kurvan, kurva d som har denna period.
Tillbaka
fråga 11
Tips:
Vad ska x vara för att argumentet för sin(x+60°) ska vara 0?
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
sinusfunktionen = 0 då argumentet för sin är 0. x = 0 ger sin(x) = 0 . Kurvan går genom origo (0, 0)
För att argumentet för sinusfunktionen dvs (x + 60°) skall vara noll får man ekvationen
x + 60° = 0
x = 0 - 60°
x = -60°
Kurvans 'origo' blir för x = -60°. Man ska flytta kurvan 60° år vänster.
Tillbaka
fråga 12
Tips:
Vilken vinkel är kurvans 'origo'?
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
'Origo' finns för x = 50°.
Argumentet för sinusfunktionen skall vara noll för x = 50° så argumentet blir
(x - 50°)
Tillbaka
fråga 13
Tips:
Hur lång är en halv period?
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
En halv period går från 50° till 230° dvs är 230° - 50° = 180°
En hel period är dubbelt så stor.
En hel period är 360°
Tillbaka
fråga 14
Tips:
argumentet ska bli 360°
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Argumentet 3x ska vara 360°.
3x = 360°
x = 120°
Tillbaka
fråga 15
Tips:
argumentet ska bli 360°
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Argumentet 0.75x = 360°
x = 360° / 0.75
x = 480°
Tillbaka
fråga 16
Tips:
y =√a² + b² sin(x + tan-1(b/a) )
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Med a = 3 och b = 4 blir
√a² + b² = √3² + 4² = 5
tan-1(b/a) = tan-1(4/3) = 53°
svar = 5 sin(x + 53°)
Tillbaka
fråga 17
Tips:
Den lila diagonalen
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
3 sin(x) = blå linjen i bilden.
3 cos(x) = den röda linjen i bilden.
Vrider man pilen AB 90° får man pilen AC. Höjden för pilen AC motsvarar 3 cos(x)
Addera höjderna, dvs addera den blå linjen med den röda streckade linjen så får man y-komposanten för pilen AD.
3 sin(x) + 3 cos(x) = y-komposanten för pilen AD.
Pilen AD är diagonalen i kvadraten med sidan 3. Längden av AD = √3² + 3² = √18
y-komposanten av AD = √18 sin(x + 45°) eftersom diagonalen bildar vinkeln 45° mot pilen AB.
Tillbaka
fråga 18
Tips:
Amplituden = √5² + 12²
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Fasvinkeln ges av φ = tan-1(b/a)
som ger
φ = tan-1(-12/5) = -67.38°
svar = 13 sin(2x - 67°)
Tillbaka