Hjälp till Övningar på rotationsvolymer













fråga 1

Tips:
Summera massa skivor med radien x.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








För att beräkna integralen skall man summera volymen på oändligt många cirkelskivor med arean x·x·π och tjockleken dx.

5
∫x·x·πdx
0
5               5
∫ x²·πdx=[x³/3·π]=
0               0
= 5³/3·π - 0³/3·π = 130.899 cm³
Tillbaka












fråga 2

Tips:
Teckna cirkelskivan vid x.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Cirkelskivan vid x har arean π · r² = π · 0.5x · 0.5x

Integralen blir då

6
∫ (π · 0.5x · 0.5x)dx =
2
            6
[π·0.25 x3/3] =
            2
(π · 0.25 · 63 / 3) - (π · 0.25 · 23 / 3) = 54.454272662223

Kroppens volym blir 54 c³m
Tillbaka.












fråga 3

Tips:
En cirkelskiva har arean (√x)²·π

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Teckna integralen.
Summan av cirkelskivor · tjockleken.
5
∫ (√x)²·π dx
0
5           5               5
∫(√x)²·πdx= ∫x·πdx = [x²/2·π]=
0           0               0
= 5²/2·π - 0²/2·π = 39.270
Tillbaka












fråga 4

Tips:
Lös ut x

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Lös ut x² ur formeln y = x²/4
4y = x²

En tunn skivas längs y-axeln har volymen x·x·π·Δy = x²·π·Δy

Byt ut x² mot 4y.
Integralen blir
4               4
∫4yπdy = [4πy²/2]
0               0
Sätt in gränserna och beräkna.
Integralen = (4π·4²/2) - ( 4π·0²/2) = 32π - 0 = 32π ≈ 100.5309 volymsenheter.
Tillbaka












fråga 5

Tips:
Teckna volymen av en skiva.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Skivans volym blir y·y·π·Δx
Integralen blir
 2
 ∫y·y·πdx
-2
Byt ut y mot funktionen √4 - x²

y·y·π = √4 - x²·√4 - x²·π = (4 - x²)·π
 2                      2
 ∫(4-x²)·πdx = π[4x-x³/3]
-2                     -2
Sätt in gränserna och beräkna.
= π( (4·2 - 2³/3) - (4·(-2) - (-2)³/3) ) =
= π( (8 - 8/3) - (-8 - (-8)/3) ) =
= π(16 - 16/3) = π(48/3 - 16/3) = π·32/3 ≈ 33.5103 ve
Tillbaka












fråga 6

Tips:
Beräkna integralen från -2 till 1.

Tillbaka

Lösning:
Bläddra neråt








Placera klotet i ett koordinatsystem med medelpunkten i origo och x-axeln uppåt.Teckna en integral för beräkning av volymen.
bilder/klotvolymhelp.GIF
 1
∫ π (√4 - x²)2dx =
-2
   1
π ∫ (4 - x²) dx = F(1) - F(-2)
-2

En primitiv funktion F(x) = 4x - x³/3
Integralens värde blir
F(1) - F(-2) = 4 - 1/3 - (-8 - (-8)/3 ) = 4 - 1/3 + 8 - 8/3 = 12 - 9/3 = 12 - 3 = 9

Multiplicera med π
π ( F(1) - F(-2) ) = 9π = 28.27433388
Tillbaka