Hjälp till Övningar på Derivata kvot-produkt
fråga 1
Tips:
Produktregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f = x²
f ' = 2x
g = x³
g' = 3x²
(f · g)' = f ' · g + f · g' = 2x · x³ + x² · 3x² =
2x4 + 3x4 = 5x4
Förenkla x²·x³ = x5 och derivera ger y' = 5x4
Tillbaka
fråga 2
Tips:
Produktregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f = x
f ' = 1
g = sin(2x)
g' = cos(2x) · 2
(f · g)' = f ' · g + f · g' = 1 · sin(2x) + x · cos(x) · 2
Tillbaka
fråga 3
Tips:
Produktregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f = x
f ' = 1
g = ln(x)
g' = 1/x
(f · g)' = f ' · g + f · g' = 1 · ln(x) + x · 1/x
Tillbaka
fråga 4
Tips:
Produktregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f = sin(x)
f ' = cos(x)
g = cos(x)
g' = -sin(x)
(f · g)' = f ' · g + f · g' = cos(x) · cos(x) + sin(x) · -sin(x) =
cos(x) · cos(x) - sin(x) · sin(x)
Tillbaka
fråga 5
Tips:
Produktregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f = e2x
f ' = 2e2x
g = ln(x)
g' = 1/x
(f · g)' = f ' · g + f · g' = 2e2x · ln(x) + e2x · 1/x
Tillbaka
fråga 6
Tips:
Produktregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f = x²
f ' = 2x
g = 1 + sin(x)
g' = cos(x)
(f · g)' = f ' · g + f · g' = 2x · (1 + sin(x)) + x² · cos(x)
Tillbaka
fråga 7
Tips:
Sammansatt funktion
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
derivatan av f(g) = f '(g) · g'
f = sin(g)
f ' = cos(g)
g = x²
g' = 2x
f '(g) · g' = cos(x²) · 2x
Tillbaka
fråga 8
Tips:
Sammansatt funktion
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f(g(u))' = f '(g(u)) · g'(u) · u'
f = g³
f ' = 3 · g²
g = sin(u)
g' = cos(u)
u = 4x
u' = 4
f(g(u))' = f '(g(u)) · g'(u) · u' = 3 · sin²(4x) · cos(4x) · 4
Tillbaka
fråga 9
Tips:
Kvotregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
(f / g)' = (f ' · g - f · g') / g²
f = sin(x)
f ' = cos(x)
g = x
g' = 1
(f / g)' = (f ' · g - f · g') / g² =
(cos(x) · x - sin(x) · 1) / x²
Tillbaka
fråga 10
Tips:
Kvotregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f = x
f ' = 1
g = ln(x)
g' = 1/x
(f / g)' = (f ' · g - f · g') / g² =
(1 · ln(x) - x · 1/x ) / (ln(x))²
Tillbaka
fråga 11
Tips:
Kvotregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f = sin(x)
f ' = cos(x)
g = cos(x)
g' = -sin(x)
(f / g)' = (f ' · g - f · g') / g² =
( cos(x) · cos(x) - sin(x) · -sin(x) )/ cos²(x) =
( cos(x) · cos(x) + sin(x) · sin(x) )/ cos²(x) =
1 / cos²(x)
Tillbaka
fråga 12
Tips:
Kvotregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f = x³
f ' = 3x²
g = x²
g' = 2x
(f / g)' = (f ' · g - f · g') / g² =
( 3x² · x² - x³ · 2x ) / (x²)2 =
( 3x² · x² - x³ · 2x ) / x4 =
(3x4 - 2x4) / x4 =
x4 / x4 = 1
Vilket är samma svar som om man förenklar x³ / x² = x och deriverar.
Tillbaka
fråga 13
Tips:
Kvotregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f = e2x
f ' = 2e2x
g = ln(x)
g' = 1/x
(f / g)' = (f ' · g - f · g') / g² =
(2e2x · ln(x) - e2x · 1/x ) / ln(x)²
Tillbaka
fråga 14
Tips:
Kvotregeln
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
f = 1 + x
f ' = 1
g = x - 1
g' = 1
(f / g)' = (f ' · g - f · g') / g² =
( 1 · (x - 1) - (1 + x) · 1 ) / (x - 1)²
Tillbaka
fråga 15
Tips:
Faktorisera först
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
x² - 5x + 6 kan faktoriseras till (x - 2)·(x - 3)
(x² - 5x + 6) / (x - 2) = (x - 2)·(x - 3) / (x - 2) = x - 3
derivatan blir
y' = 1
Med kvotregeln
f = x² - 5x + 6
f ' = 2x - 5
g = x - 2
g' = 1
(f / g)' = (f ' · g - f · g') / g² =
((2x - 5) ·(x - 2) - (x² - 5x +6 )·1 ) / (x - 2)² =
(2x² - 5x - 4x + 10 - x² + 5x - 6 ) / (x - 2)² =
(x² - 4x + 4) / (x - 2)² =
kvadreringsregeln!
(x - 2)² / (x - 2)² = 1
Tillbaka
fråga 16
Tips:
Sammansatt funktion med produkt
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Funktionen är av typen f (g · u). Derivatan blir
f (g · u)' = f '(g · u) · (g' · u + g · u')
f = sin(...)
f ' = cos(...)
g = x
g' = 1
u = ln(x)
u' = 1/x
f (g · u)' = f '(g · u) · (g' · u + g · u') =
cos( x · ln(x) ) · ( 1 · ln(x) + x · 1/x)
Tillbaka
fråga 17
Tips:
Sammansatt funktion med kvot
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Funktionen är av typen f (g/u) som har derivatan
f (g/u)' = f '(g/u) · (g/u)' = f '(g/u) · (g' · u - g · u') / u²
f = e(...)
f ' = e(...)
g = sin(2x)
g' = cos(2x) · 2
u = x
u' = 1
f (g/u)' = f '(g/u) · (g' · u - g · u') / u² =
e(sin(2x) / x) · (cos(2x)·2 · x - sin(2x) · 1) / x²
Tillbaka
fråga 18
Tips:
Sammansatt funktion med kvot
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Funktionen är av typen f (g/u) som har derivatan
f (g/u)' = f '(g/u) · (g/u)' = f '(g/u) · (g' · u - g · u') / u²
f = (..)4
f ' = 4(..)3
g = x³
g' = 3x²
u = 2x + 1
u' = 2
f (g/u)' = f '(g/u) · (g' · u - g · u') / u² =
4(x³ / (2x + 1) )3 · (3x² · (2x + 1) - x³ · 2) / (2x + 1)²
Tillbaka