Hjälp till Övningar på Integraler
fråga 1
Tips:
En primitiv funktion är x²/2
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Primitiva funktionen är x2/21 1
∫ x dx = [x2/2] =
0 0
12/2 - 02/2 = 1/2 - 0/2 = 1/2
Tillbaka
fråga 2
Tips:
Primitiv funktion är x3/3.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
3 3
∫x2dx = [x3/3] = 33/3 - 13/3 = 9 - 1/3 ≈ 8.7
1 1
Tillbaka
fråga 3
Tips:
En primitiv funktion är F(x) = 3x.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Integralen beräknas medb
∫f(x)dx = F(b) - F(a)
a
7 7
∫3dx = [3x] = 3·7 - 3·2 =
2 2
21 - 6 = 15
Tillbaka
fråga 4
Tips:
Derivatan av -cos(x) är sin(x)
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
En primitiv funktion till sin(x) är -cos(x).π π
∫sin(x)dx = [-cos(x)] =
0 0
-cos(π) - (-cos(0)) = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2
Tillbaka
fråga 5
Tips:
Dividera med inre derivatan för att få primitiva funktionen.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Primitiva funktionen till e0.2x är e0.2x / 0.2 = 5e0.2x5 5
∫e0.2xdx =[5e0.2x] =
0 0
= 5e0.2·5 - 5e0.2·0 =
= 5e1 - 5e0 = 5e - 5
Tillbaka
fråga 6
Tips:
Hitta en primitiv funktion till x + 2.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
En primitiv funktion till f(x) = x + 2 är F(x) = x2/2 + 2x5 5
∫(x+2)dx = [x2/2 + 2x] =
1 1
52/2 + 2·5 - (12/2 + 2·1) = 12.5 + 10 - (0.5 + 2) = 22.5 - 2.5 = 20
Tillbaka
fråga 7
Tips:
Utveckla (x + 2)² först.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
(x + 2)² = x² + 4x + 4
Integralen blir då2 2
∫(x2+4x+4)dx = [x3/3+2x2+4x] =
0 0
(23/3 + 2·22 + 4·2) - ( 03/3 + 2·02 + 4·0) =
= 8/3 + 8 + 8 - 0 = 182/3 ≈ 18.7
Tillbaka
fråga 8
Tips:
3
∫f(x)dx = F(3) - F(-2)
-2
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Integralens värde får man genom att beräkna skillnaden mellan den primitiva funktionens värden för integrationsgränserna. 3
∫f(x)dx = F(3)-F(-2) =
-2
(2·3 + 4) - (2·(-2) + 4) =
(6 + 4) - ( -4 + 4) =
10 - 0 = 10
Tillbaka
fråga 9
Tips:
Bestäm F(2) - F(1).
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
2 2
∫ln(x)dx = [x·ln(x)-x] =
1 1
= (2·ln(2) - 2) - (1·ln(1) -1) =
= (2·ln(2) - 2) - (1·0 - 1) = 2·ln(2) -1 = 0.386
Tillbaka
fråga 10
Tips:
b
∫f(x)dx = F(b) - F(a)
a
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Eftersom integralens värde är skillnaden mellan primitiva funktionens värden för integrationsgränserna blir5
∫f(x)dx = F(5)-F(3) = 9-5 = 4
3
Tillbaka
fråga 11
Tips:
Arean beräknas med integral.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Arean blir värdet av integralen4
∫(1+4x-x2)dx
1
som löses4 4
∫(1+4x-x2)dx = [1x+2x2-x3/3] =
1 1
(1·4 + 2·42 - 43/3) - (1·1 + 2·12 - 13/3) = 142/3 - 22/3 = 12
Tillbaka
fråga 12
Tips:
Arean beräknas med integral.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Områdets vänsterkant är x = -2.
Områdets högerkant är x = 2.
Områdets underkant är x-axeln
Kurvan är 4 - x²
Arean beräknas då med integralen 2
∫(4-x2)dx
-2
som blir 2
=[4x-x3/3] = (4·2 - 23/3) - (4·(-2)-(-2)3/3) =
-2
= (8 - 8/3) - (-8 - (-8/3)) = (24/3 - 8/3) - ( -24/3 + 8/3) =
= 16/3 + 16/3 = 32/3 = 102/3
Tillbaka