Hjälp till Övningar på svängningar
fråga 1
Tips:
y = A sin(ωt)
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
y = A sin(ωt)
y = 5 sin(10t)
Maximalt utslag = Amplituden A = 5 cm
Vinkelhastigheten = ω = 10 /s
Tillbaka
fråga 2
Tips:
ω = 2π / T
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
y = sin(ωt) = sin(10t) ger ω = 10.
Då ω = 2π/ T blir
T = 2π / ω
Med insatta värden.
T = 2π / 10 = 0.6283 sekunder.
Tillbaka
fråga 3
Tips:
Hastigheten ges av derivatan av lägesfunktionen.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
y = 4 sin(2πt)
y' = v = 4·2π cos(2πt).
Maximal hastighet får man då cos(2πt) = 1
y'max = 4·2π = 25.1327 m/s
Tillbaka
fråga 4
Tips:
y = A sin(ωt)
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
y = A sin(ωt)
A är amplituden
ω = 2πf ger f = ω / 2π
y = 3.5 sin(5πt)
A = 3.5 m
f = ω / 2π = 5π / 2π = 2.5 Hz.
Tillbaka
fråga 5
Tips:
Hastigheten är störst när vikten passerar jämviktsläget.
Accelerationen beror på kraften som i sin tur beror på utslaget, elongationen. Alla dessa är störst i vändläget.
Tillbaka
fråga 6
Tips:
Harmonisk fjäderpendel
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Svängningstiden för en kula som hänger i en fjäder bestäms av sambandet.
T = 2π √ m / k
Med insatta värden.
T = 2π √ 0.125kg / 15N/m = 0.57357 s.
Tillbaka
fråga 7
Tips:
Harmonisk svängning.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Den harmoniska svängningens hastighet beskrivs av formeln
v(t) = A · ω · cos(ωt)
där ω = √ k / m
Hastigheten är maximal då cos(ωt) = 1.
Maxutslaget ges av kraften och Hookes lag.
F = k · Δl = k · A
Lös ut A.
A = F / k = 0.50N / 25N/m = 0.020 m.
Maxhastigheten vmax = ω · A = √ k / m · A
vmax = √ 25N/m / 0.125kg · 0.020m = 0.28284 m/s.
Tillbaka
fråga 8
Tips:
a) Svängningens period: Från översta läget till nedersta läget är en halv period. Beräkna tidsskillnaden dvs ΔX
b) I övre vändläget är kraften så liten som möjligt eftersom fjädern är så lite utdragen som möjligt. dvs minimal kraft.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Skillnaden mellan nedre och övre läget ΔX = 1.7 - 0.88 = 0.82 sekunder = T / 2
T = 1.64 sekunder.
Vid tiden 1.7 sekunder är fjädern uttänjd så lite som möjligt.
Tillbaka
fråga 9
Tips:
a) Skillnaden i läge mellan de markerade punkterna är 2 amplituder.
b) Tiden mellan de båda markerade punkterna motsvarar en halv period.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
2 Amplituder = 2A = ΔY = 0.8895 - 0.4805 = 0.409 m
A = 0.409/2 = 0.2045 m
Δt = 1.6988 - 0.9994 = 0.6994 = T/2
T = 0.6994 · 2 = 1.3988 sekunder
Tillbaka
fråga 10
Tips:
a) periodtiden T: Halva perioden är tiden mellan kurvans maxvärde och nästa minvärde.
T = (1.47993-0.719983) · 2= 1.519894 s.
b) Max rörelseenergi: Systemets totala energi
Etot = kA2 / 2
där amplituden = A = (max-utslag - min-utslag) / 2.
k är fjäderkonstanten
k = F / Δl
Kraften F i maxläget blir ( F i ena ytterläget - F i andra ytterläget) / 2
F = ( 7.22184 - 4.14996)/2 = 1.53594
Δl = A =(.864908 - .540019)/2 = 0.1624445
k = F / A.
Etot = Ek max = kA2 / 2 = F / A · A2 / 2 = F · A / 2.
Etot = 1.53594N · 0.1624445 / 2 = 0.12475 J
Tillbaka
fråga 11
Tips:
y = A sin(ωt)
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
elongationen y = 4 sin(ωt)
Hastigheten = y' = v = 4ω cos(ωt) som är störst då cos(ωt) = 1.
Då blir maxhastigheten vmax = 4ω = 10 m/s
Lös ut ω
ω = 10/4 = 2.5
ω = 2πf ger f = ω / 2π
f = 2.5 / 2π = 0.397887
Tillbaka
fråga 12
Tips:
Matematisk pendel
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
En kula i ett snöre är en matematisk pendel vars svängningstid är
T = 2π · √l / g
Med insatta värden.
T = 2π · √1.000m / 9.82m/s² = 2.005045 s.
Tillbaka
fråga 13
Tips:
Beräkna svängningstiderna T = 2π√ l / g
För att beräkna antal svängningar ska man dividera svängningstiden med skillnaden i svängningstid för de två pendlarna.
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Pendel 1.000m
T = 2π√ l / g = 2.005045002 s.
Pendel 0.999m
T = 2π√ l / g = 2.004042226 s.
Ursprungstiden dividerat med Tidsskillnad blir
T / ΔT = 2.0050045002 /(2.005045002 - 2.004042226)
T / ΔT = 1999.45401585203 svängningar.
Tillbaka
fråga 14
Tips:
Konisk pendel
Tillbaka
Lösning:
Bläddra neråt
Enligt formelsamling:
T = 2π√ l · cos α / g
Vinkeln α ges av sambandet
cos α = h / l där h = √ l² - r² och l är snörets längd.
l · cos α = h = √ l² - r²
Med insatta värden.
h = √2.00² - 0.50² m = 1.9364917 m
T = 2π√ l · cos α / g = 2π√h / g = 2π√1.9364917m / 9.82m/s²
T = 2.790178 sekunder.
Tillbaka